Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61311 / 33917
↖ ↑ ↗
← N 65.223347°
W 11.604309°		 ← 128 m → N 65.223347°
W 11.601562°		 →
↑
127.99 m
↓
↑
127.99 m
↓
N 65.222196°
W 11.604309°		 ← 128 m →
16 383 m²		 N 65.222196°
W 11.601562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33917 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467769622802734 y=0.258769989013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467769622802734 × 217)
    floor (0.467769622802734 × 131072)
    floor (61311.5)     		tx = 61311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258769989013672 × 217)
    floor (0.258769989013672 × 131072)
    floor (33917.5)     		ty = 33917
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61311 / 33917 ti = "17/61311/33917"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61311/33917.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61311 ÷ 217
    61311 ÷ 131072     		x = 0.467765808105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33917 ÷ 217
    33917 ÷ 131072     		y = 0.258766174316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467765808105469 × 2 - 1) × π
    -0.0644683837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20253340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258766174316406 × 2 - 1) × π
    0.482467651367188 × 3.1415926535     		Φ = 1.51571682908656
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20253340} λ = -0.20253340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51571682908656))-π/2
    2×atan(4.55268345336193)-π/2
    2×1.35457924309701-π/2
    2.70915848619401-1.57079632675     		φ = 1.13836216
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20253340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.604309°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13836216 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.223347°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61311 KachelY 33917 -0.20253340 1.13836216 -11.604309 65.223347
    Oben rechts KachelX + 1 61312 KachelY 33917 -0.20248546 1.13836216 -11.601562 65.223347
    Unten links KachelX 61311 KachelY + 1 33918 -0.20253340 1.13834207 -11.604309 65.222196
    Unten rechts KachelX + 1 61312 KachelY + 1 33918 -0.20248546 1.13834207 -11.601562 65.222196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13836216-1.13834207) × R
    2.00900000000281e-05 × 6371000     		dl = 127.993390000179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13836216-1.13834207) × R
    2.00900000000281e-05 × 6371000     		dr = 127.993390000179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20253340--0.20248546) × cos(1.13836216) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.419082139475633 × 6371000     		do = 127.998472570119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20253340--0.20248546) × cos(1.13834207) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.419100380072903 × 6371000     		du = 128.004043718038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13836216)-sin(1.13834207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419082139475633-0.419100380072903)×R²
    abs(-0.20248546--0.20253340)×1.82405972700694e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.82405972700694e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.82405972700694e-05×40589641000000     		ar = 16383.3149546466m²