Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61311 / 13695
↖ ↑ ↗
← N 71.748152°
E156.791382°		 ← 191.32 m → N 71.748152°
E156.796875°		 →
↑
191.32 m
↓
↑
191.32 m
↓
N 71.746432°
E156.791382°		 ← 191.33 m →
36 604 m²		 N 71.746432°
E156.796875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.935539245605469 y=0.208976745605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.935539245605469 × 216)
    floor (0.935539245605469 × 65536)
    floor (61311.5)     		tx = 61311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208976745605469 × 216)
    floor (0.208976745605469 × 65536)
    floor (13695.5)     		ty = 13695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61311 / 13695 ti = "16/61311/13695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61311/13695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61311 ÷ 216
    61311 ÷ 65536     		x = 0.935531616210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13695 ÷ 216
    13695 ÷ 65536     		y = 0.208969116210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.935531616210938 × 2 - 1) × π
    0.871063232421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.73652585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.208969116210938 × 2 - 1) × π
    0.582061767578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.82860097290666
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73652585} λ = 2.73652585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82860097290666))-π/2
    2×atan(6.2251713800695)-π/2
    2×1.4115189076702-π/2
    2.8230378153404-1.57079632675     		φ = 1.25224149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73652585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.791382°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25224149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.748152°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61311 KachelY 13695 2.73652585 1.25224149 156.791382 71.748152
    Oben rechts KachelX + 1 61312 KachelY 13695 2.73662173 1.25224149 156.796875 71.748152
    Unten links KachelX 61311 KachelY + 1 13696 2.73652585 1.25221146 156.791382 71.746432
    Unten rechts KachelX + 1 61312 KachelY + 1 13696 2.73662173 1.25221146 156.796875 71.746432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25224149-1.25221146) × R
    3.00300000000142e-05 × 6371000     		dl = 191.321130000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25224149-1.25221146) × R
    3.00300000000142e-05 × 6371000     		dr = 191.321130000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73652585-2.73662173) × cos(1.25224149) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.313194432508871 × 6371000     		do = 191.315282625678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73652585-2.73662173) × cos(1.25221146) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.313222951529119 × 6371000     		du = 191.332703511405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25224149)-sin(1.25221146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313194432508871-0.313222951529119)×R²
    abs(2.73662173-2.73652585)×2.85190202481966e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.85190202481966e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.85190202481966e-05×40589641000000     		ar = 36604.3225526313m²