Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6131 / 10174
↖ ↑ ↗
← S 39.876019°
W 45.285644°		 ← 1 875.01 m → S 39.876019°
W 45.263672°		 →
↑
1 874.79 m
↓
↑
1 874.79 m
↓
S 39.892880°
W 45.285644°		 ← 1 874.54 m →
3 514 816 m²		 S 39.892880°
W 45.263672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10174 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374237060546875 y=0.621002197265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374237060546875 × 214)
    floor (0.374237060546875 × 16384)
    floor (6131.5)     		tx = 6131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621002197265625 × 214)
    floor (0.621002197265625 × 16384)
    floor (10174.5)     		ty = 10174
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6131 / 10174 ti = "14/6131/10174"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6131/10174.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6131 ÷ 214
    6131 ÷ 16384     		x = 0.37420654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10174 ÷ 214
    10174 ÷ 16384     		y = 0.6209716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37420654296875 × 2 - 1) × π
    -0.2515869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.79038360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6209716796875 × 2 - 1) × π
    -0.241943359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.76008748037561
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79038360} λ = -0.79038360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.76008748037561))-π/2
    2×atan(0.467625517164644)-π/2
    2×0.437414247674991-π/2
    0.874828495349982-1.57079632675     		φ = -0.69596783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79038360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.285644°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69596783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.876019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6131 KachelY 10174 -0.79038360 -0.69596783 -45.285644 -39.876019
    Oben rechts KachelX + 1 6132 KachelY 10174 -0.79000011 -0.69596783 -45.263672 -39.876019
    Unten links KachelX 6131 KachelY + 1 10175 -0.79038360 -0.69626210 -45.285644 -39.892880
    Unten rechts KachelX + 1 6132 KachelY + 1 10175 -0.79000011 -0.69626210 -45.263672 -39.892880
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69596783--0.69626210) × R
    0.000294270000000041 × 6371000     		dl = 1874.79417000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69596783--0.69626210) × R
    0.000294270000000041 × 6371000     		dr = 1874.79417000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79038360--0.79000011) × cos(-0.69596783) × R
    0.000383489999999931 × 0.767433557932917 × 6371000     		do = 1875.00501908369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79038360--0.79000011) × cos(-0.69626210) × R
    0.000383489999999931 × 0.767244859828497 × 6371000     		du = 1874.54398908412m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69596783)-sin(-0.69626210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.767433557932917-0.767244859828497)×R²
    abs(-0.79000011--0.79038360)×0.000188698104420681×R²
    0.000383489999999931×0.000188698104420681×6371000²
    0.000383489999999931×0.000188698104420681×40589641000000     		ar = 3514816.33568583m²