Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61309 / 40845
↖ ↑ ↗
← N 55.953813°
W 11.609802°		 ← 170.96 m → N 55.953813°
W 11.607056°		 →
↑
171 m
↓
↑
171 m
↓
N 55.952275°
W 11.609802°		 ← 170.97 m →
29 234 m²		 N 55.952275°
W 11.607056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61309 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40845 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467754364013672 y=0.311626434326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467754364013672 × 217)
    floor (0.467754364013672 × 131072)
    floor (61309.5)     		tx = 61309
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311626434326172 × 217)
    floor (0.311626434326172 × 131072)
    floor (40845.5)     		ty = 40845
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61309 / 40845 ti = "17/61309/40845"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61309/40845.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61309 ÷ 217
    61309 ÷ 131072     		x = 0.467750549316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40845 ÷ 217
    40845 ÷ 131072     		y = 0.311622619628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467750549316406 × 2 - 1) × π
    -0.0644989013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.20262927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311622619628906 × 2 - 1) × π
    0.376754760742188 × 3.1415926535     		Φ = 1.18360998851881
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20262927} λ = -0.20262927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18360998851881))-π/2
    2×atan(3.26614368746843)-π/2
    2×1.2736872981757-π/2
    2.54737459635139-1.57079632675     		φ = 0.97657827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20262927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.609802°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97657827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.953813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61309 KachelY 40845 -0.20262927 0.97657827 -11.609802 55.953813
    Oben rechts KachelX + 1 61310 KachelY 40845 -0.20258134 0.97657827 -11.607056 55.953813
    Unten links KachelX 61309 KachelY + 1 40846 -0.20262927 0.97655143 -11.609802 55.952275
    Unten rechts KachelX + 1 61310 KachelY + 1 40846 -0.20258134 0.97655143 -11.607056 55.952275
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97657827-0.97655143) × R
    2.68399999999724e-05 × 6371000     		dl = 170.997639999824m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97657827-0.97655143) × R
    2.68399999999724e-05 × 6371000     		dr = 170.997639999824m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20262927--0.20258134) × cos(0.97657827) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.559861018115875 × 6371000     		do = 170.960297009736m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20262927--0.20258134) × cos(0.97655143) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.559883257176723 × 6371000     		du = 170.967087974502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97657827)-sin(0.97655143))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.559861018115875-0.559883257176723)×R²
    abs(-0.20258134--0.20262927)×2.22390608483058e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.22390608483058e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.22390608483058e-05×40589641000000     		ar = 29234.3879436281m²