Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61308 / 40842
↖ ↑ ↗
← N 55.958426°
W 11.612549°		 ← 170.98 m → N 55.958426°
W 11.609802°		 →
↑
171 m
↓
↑
171 m
↓
N 55.956888°
W 11.612549°		 ← 170.98 m →
29 237 m²		 N 55.956888°
W 11.609802°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40842 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467746734619141 y=0.311603546142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467746734619141 × 217)
    floor (0.467746734619141 × 131072)
    floor (61308.5)     		tx = 61308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311603546142578 × 217)
    floor (0.311603546142578 × 131072)
    floor (40842.5)     		ty = 40842
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61308 / 40842 ti = "17/61308/40842"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61308/40842.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61308 ÷ 217
    61308 ÷ 131072     		x = 0.467742919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40842 ÷ 217
    40842 ÷ 131072     		y = 0.311599731445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467742919921875 × 2 - 1) × π
    -0.06451416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20267721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311599731445312 × 2 - 1) × π
    0.376800537109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.18375379921767
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20267721} λ = -0.20267721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18375379921767))-π/2
    2×atan(3.26661342765072)-π/2
    2×1.27372755277941-π/2
    2.54745510555882-1.57079632675     		φ = 0.97665878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20267721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.612549°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97665878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.958426°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61308 KachelY 40842 -0.20267721 0.97665878 -11.612549 55.958426
    Oben rechts KachelX + 1 61309 KachelY 40842 -0.20262927 0.97665878 -11.609802 55.958426
    Unten links KachelX 61308 KachelY + 1 40843 -0.20267721 0.97663194 -11.612549 55.956888
    Unten rechts KachelX + 1 61309 KachelY + 1 40843 -0.20262927 0.97663194 -11.609802 55.956888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97665878-0.97663194) × R
    2.68399999999724e-05 × 6371000     		dl = 170.997639999824m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97665878-0.97663194) × R
    2.68399999999724e-05 × 6371000     		dr = 170.997639999824m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20267721--0.20262927) × cos(0.97665878) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.559794306799815 × 6371000     		do = 170.975590402108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20267721--0.20262927) × cos(0.97663194) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.559816547070413 × 6371000     		du = 170.982383153213m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97665878)-sin(0.97663194))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.559794306799815-0.559816547070413)×R²
    abs(-0.20262927--0.20267721)×2.22402705973845e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.22402705973845e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.22402705973845e-05×40589641000000     		ar = 29237.003230312m²