Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61308 / 34232
↖ ↑ ↗
← N 64.858274°
W 11.612549°		 ← 129.76 m → N 64.858274°
W 11.609802°		 →
↑
129.78 m
↓
↑
129.78 m
↓
N 64.857107°
W 11.612549°		 ← 129.77 m →
16 841 m²		 N 64.857107°
W 11.609802°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467746734619141 y=0.261173248291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467746734619141 × 217)
    floor (0.467746734619141 × 131072)
    floor (61308.5)     		tx = 61308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261173248291016 × 217)
    floor (0.261173248291016 × 131072)
    floor (34232.5)     		ty = 34232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61308 / 34232 ti = "17/61308/34232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61308/34232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61308 ÷ 217
    61308 ÷ 131072     		x = 0.467742919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34232 ÷ 217
    34232 ÷ 131072     		y = 0.26116943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467742919921875 × 2 - 1) × π
    -0.06451416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20267721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26116943359375 × 2 - 1) × π
    0.4776611328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.50061670570624
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20267721} λ = -0.20267721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50061670570624))-π/2
    2×atan(4.48445380598783)-π/2
    2×1.35139337901826-π/2
    2.70278675803652-1.57079632675     		φ = 1.13199043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20267721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.612549°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13199043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.858274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61308 KachelY 34232 -0.20267721 1.13199043 -11.612549 64.858274
    Oben rechts KachelX + 1 61309 KachelY 34232 -0.20262927 1.13199043 -11.609802 64.858274
    Unten links KachelX 61308 KachelY + 1 34233 -0.20267721 1.13197006 -11.612549 64.857107
    Unten rechts KachelX + 1 61309 KachelY + 1 34233 -0.20262927 1.13197006 -11.609802 64.857107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13199043-1.13197006) × R
    2.03700000001028e-05 × 6371000     		dl = 129.777270000655m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13199043-1.13197006) × R
    2.03700000001028e-05 × 6371000     		dr = 129.777270000655m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20267721--0.20262927) × cos(1.13199043) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.424858794792101 × 6371000     		do = 129.762811794876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20267721--0.20262927) × cos(1.13197006) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.424877234842694 × 6371000     		du = 129.768443860974m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13199043)-sin(1.13197006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424858794792101-0.424877234842694)×R²
    abs(-0.20262927--0.20267721)×1.84400505933713e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.84400505933713e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.84400505933713e-05×40589641000000     		ar = 16840.6289199687m²