Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61307 / 33789
↖ ↑ ↗
← N 65.370271°
W 11.615295°		 ← 127.29 m → N 65.370271°
W 11.612549°		 →
↑
127.29 m
↓
↑
127.29 m
↓
N 65.369126°
W 11.615295°		 ← 127.29 m →
16 203 m²		 N 65.369126°
W 11.612549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61307 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467739105224609 y=0.257793426513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467739105224609 × 217)
    floor (0.467739105224609 × 131072)
    floor (61307.5)     		tx = 61307
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257793426513672 × 217)
    floor (0.257793426513672 × 131072)
    floor (33789.5)     		ty = 33789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61307 / 33789 ti = "17/61307/33789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61307/33789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61307 ÷ 217
    61307 ÷ 131072     		x = 0.467735290527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33789 ÷ 217
    33789 ÷ 131072     		y = 0.257789611816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467735290527344 × 2 - 1) × π
    -0.0645294189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20272515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.257789611816406 × 2 - 1) × π
    0.484420776367188 × 3.1415926535     		Φ = 1.52185275223792
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20272515} λ = -0.20272515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52185275223792))-π/2
    2×atan(4.5807042479713)-π/2
    2×1.35586139477407-π/2
    2.71172278954813-1.57079632675     		φ = 1.14092646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20272515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.615295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14092646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.370271°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61307 KachelY 33789 -0.20272515 1.14092646 -11.615295 65.370271
    Oben rechts KachelX + 1 61308 KachelY 33789 -0.20267721 1.14092646 -11.612549 65.370271
    Unten links KachelX 61307 KachelY + 1 33790 -0.20272515 1.14090648 -11.615295 65.369126
    Unten rechts KachelX + 1 61308 KachelY + 1 33790 -0.20267721 1.14090648 -11.612549 65.369126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14092646-1.14090648) × R
    1.99800000000305e-05 × 6371000     		dl = 127.292580000195m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14092646-1.14090648) × R
    1.99800000000305e-05 × 6371000     		dr = 127.292580000195m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20272515--0.20267721) × cos(1.14092646) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.416752512273429 × 6371000     		do = 127.286944457961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20272515--0.20267721) × cos(1.14090648) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.416770674409659 × 6371000     		du = 127.292491641859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14092646)-sin(1.14090648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416752512273429-0.416770674409659)×R²
    abs(-0.20267721--0.20272515)×1.81621362293494e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.81621362293494e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.81621362293494e-05×40589641000000     		ar = 16203.036618531m²