Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61306 / 33790
↖ ↑ ↗
← N 65.369126°
W 11.618042°		 ← 127.29 m → N 65.369126°
W 11.615295°		 →
↑
127.23 m
↓
↑
127.23 m
↓
N 65.367982°
W 11.618042°		 ← 127.30 m →
16 196 m²		 N 65.367982°
W 11.615295°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61306 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467731475830078 y=0.257801055908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467731475830078 × 217)
    floor (0.467731475830078 × 131072)
    floor (61306.5)     		tx = 61306
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257801055908203 × 217)
    floor (0.257801055908203 × 131072)
    floor (33790.5)     		ty = 33790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61306 / 33790 ti = "17/61306/33790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61306/33790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61306 ÷ 217
    61306 ÷ 131072     		x = 0.467727661132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33790 ÷ 217
    33790 ÷ 131072     		y = 0.257797241210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467727661132812 × 2 - 1) × π
    -0.064544677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.20277309
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.257797241210938 × 2 - 1) × π
    0.484405517578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.5218048153383
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20277309} λ = -0.20277309}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5218048153383))-π/2
    2×atan(4.5804846684746)-π/2
    2×1.35585140564481-π/2
    2.71170281128963-1.57079632675     		φ = 1.14090648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20277309} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.618042°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14090648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.369126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61306 KachelY 33790 -0.20277309 1.14090648 -11.618042 65.369126
    Oben rechts KachelX + 1 61307 KachelY 33790 -0.20272515 1.14090648 -11.615295 65.369126
    Unten links KachelX 61306 KachelY + 1 33791 -0.20277309 1.14088651 -11.618042 65.367982
    Unten rechts KachelX + 1 61307 KachelY + 1 33791 -0.20272515 1.14088651 -11.615295 65.367982
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14090648-1.14088651) × R
    1.99699999998693e-05 × 6371000     		dl = 127.228869999167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14090648-1.14088651) × R
    1.99699999998693e-05 × 6371000     		dr = 127.228869999167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20277309--0.20272515) × cos(1.14090648) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.416770674409659 × 6371000     		do = 127.292491641859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20277309--0.20272515) × cos(1.14088651) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.41678882728948 × 6371000     		du = 127.298035998612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14090648)-sin(1.14088651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416770674409659-0.41678882728948)×R²
    abs(-0.20272515--0.20277309)×1.81528798208208e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.81528798208208e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.81528798208208e-05×40589641000000     		ar = 16195.632572626m²