Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61301 / 40942
↖ ↑ ↗
← N 55.804368°
W 11.631775°		 ← 171.66 m → N 55.804368°
W 11.629028°		 →
↑
171.63 m
↓
↑
171.63 m
↓
N 55.802825°
W 11.631775°		 ← 171.66 m →
29 463 m²		 N 55.802825°
W 11.629028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61301 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40942 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467693328857422 y=0.312366485595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467693328857422 × 217)
    floor (0.467693328857422 × 131072)
    floor (61301.5)     		tx = 61301
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312366485595703 × 217)
    floor (0.312366485595703 × 131072)
    floor (40942.5)     		ty = 40942
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61301 / 40942 ti = "17/61301/40942"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61301/40942.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61301 ÷ 217
    61301 ÷ 131072     		x = 0.467689514160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40942 ÷ 217
    40942 ÷ 131072     		y = 0.312362670898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467689514160156 × 2 - 1) × π
    -0.0646209716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.20301277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312362670898438 × 2 - 1) × π
    0.375274658203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.17896010925566
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20301277} λ = -0.20301277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17896010925566))-π/2
    2×atan(3.25099176826351)-π/2
    2×1.27238314585655-π/2
    2.5447662917131-1.57079632675     		φ = 0.97396996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20301277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.631775°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97396996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.804368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61301 KachelY 40942 -0.20301277 0.97396996 -11.631775 55.804368
    Oben rechts KachelX + 1 61302 KachelY 40942 -0.20296483 0.97396996 -11.629028 55.804368
    Unten links KachelX 61301 KachelY + 1 40943 -0.20301277 0.97394302 -11.631775 55.802825
    Unten rechts KachelX + 1 61302 KachelY + 1 40943 -0.20296483 0.97394302 -11.629028 55.802825
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97396996-0.97394302) × R
    2.69400000000308e-05 × 6371000     		dl = 171.634740000196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97396996-0.97394302) × R
    2.69400000000308e-05 × 6371000     		dr = 171.634740000196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20301277--0.20296483) × cos(0.97396996) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.562020321756781 × 6371000     		do = 171.65547266759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20301277--0.20296483) × cos(0.97394302) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.562042604257865 × 6371000     		du = 171.662278316972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97396996)-sin(0.97394302))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562020321756781-0.562042604257865)×R²
    abs(-0.20296483--0.20301277)×2.22825010831595e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.22825010831595e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.22825010831595e-05×40589641000000     		ar = 29462.6264656441m²