Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61301 / 33800
↖ ↑ ↗
← N 65.357677°
W 11.631775°		 ← 127.35 m → N 65.357677°
W 11.629028°		 →
↑
127.29 m
↓
↑
127.29 m
↓
N 65.356532°
W 11.631775°		 ← 127.35 m →
16 211 m²		 N 65.356532°
W 11.629028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61301 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467693328857422 y=0.257877349853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467693328857422 × 217)
    floor (0.467693328857422 × 131072)
    floor (61301.5)     		tx = 61301
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257877349853516 × 217)
    floor (0.257877349853516 × 131072)
    floor (33800.5)     		ty = 33800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61301 / 33800 ti = "17/61301/33800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61301/33800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61301 ÷ 217
    61301 ÷ 131072     		x = 0.467689514160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33800 ÷ 217
    33800 ÷ 131072     		y = 0.25787353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467689514160156 × 2 - 1) × π
    -0.0646209716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.20301277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25787353515625 × 2 - 1) × π
    0.4842529296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.5213254463421
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20301277} λ = -0.20301277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5213254463421))-π/2
    2×atan(4.57828945233828)-π/2
    2×1.35575149040899-π/2
    2.71150298081797-1.57079632675     		φ = 1.14070665
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20301277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.631775°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14070665 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.357677°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61301 KachelY 33800 -0.20301277 1.14070665 -11.631775 65.357677
    Oben rechts KachelX + 1 61302 KachelY 33800 -0.20296483 1.14070665 -11.629028 65.357677
    Unten links KachelX 61301 KachelY + 1 33801 -0.20301277 1.14068667 -11.631775 65.356532
    Unten rechts KachelX + 1 61302 KachelY + 1 33801 -0.20296483 1.14068667 -11.629028 65.356532
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14070665-1.14068667) × R
    1.99800000000305e-05 × 6371000     		dl = 127.292580000195m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14070665-1.14068667) × R
    1.99800000000305e-05 × 6371000     		dr = 127.292580000195m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20301277--0.20296483) × cos(1.14070665) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.416952313887981 × 6371000     		do = 127.347969013939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20301277--0.20296483) × cos(1.14068667) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.416970474193436 × 6371000     		du = 127.353515638671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14070665)-sin(1.14068667))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416952313887981-0.416970474193436)×R²
    abs(-0.20296483--0.20301277)×1.81603054554835e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.81603054554835e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.81603054554835e-05×40589641000000     		ar = 16210.8045560559m²