Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61301 / 33799
↖ ↑ ↗
← N 65.358822°
W 11.631775°		 ← 127.34 m → N 65.358822°
W 11.629028°		 →
↑
127.36 m
↓
↑
127.36 m
↓
N 65.357677°
W 11.631775°		 ← 127.35 m →
16 218 m²		 N 65.357677°
W 11.629028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61301 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467693328857422 y=0.257869720458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467693328857422 × 217)
    floor (0.467693328857422 × 131072)
    floor (61301.5)     		tx = 61301
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257869720458984 × 217)
    floor (0.257869720458984 × 131072)
    floor (33799.5)     		ty = 33799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61301 / 33799 ti = "17/61301/33799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61301/33799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61301 ÷ 217
    61301 ÷ 131072     		x = 0.467689514160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33799 ÷ 217
    33799 ÷ 131072     		y = 0.257865905761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467689514160156 × 2 - 1) × π
    -0.0646209716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.20301277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.257865905761719 × 2 - 1) × π
    0.484268188476562 × 3.1415926535     		Φ = 1.52137338324172
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20301277} λ = -0.20301277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52137338324172))-π/2
    2×atan(4.5785089266006)-π/2
    2×1.35576148389179-π/2
    2.71152296778358-1.57079632675     		φ = 1.14072664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20301277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.631775°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14072664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.358822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61301 KachelY 33799 -0.20301277 1.14072664 -11.631775 65.358822
    Oben rechts KachelX + 1 61302 KachelY 33799 -0.20296483 1.14072664 -11.629028 65.358822
    Unten links KachelX 61301 KachelY + 1 33800 -0.20301277 1.14070665 -11.631775 65.357677
    Unten rechts KachelX + 1 61302 KachelY + 1 33800 -0.20296483 1.14070665 -11.629028 65.357677
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14072664-1.14070665) × R
    1.99899999999698e-05 × 6371000     		dl = 127.356289999807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14072664-1.14070665) × R
    1.99899999999698e-05 × 6371000     		dr = 127.356289999807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20301277--0.20296483) × cos(1.14072664) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.416934144326711 × 6371000     		do = 127.342419562243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20301277--0.20296483) × cos(1.14070665) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.416952313887981 × 6371000     		du = 127.347969013939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14072664)-sin(1.14070665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416934144326711-0.416952313887981)×R²
    abs(-0.20296483--0.20301277)×1.81695612698762e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.81695612698762e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.81695612698762e-05×40589641000000     		ar = 16218.2114944492m²