Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61300 / 40967
↖ ↑ ↗
← N 55.765758°
W 11.634522°		 ← 171.83 m → N 55.765758°
W 11.631775°		 →
↑
171.83 m
↓
↑
171.83 m
↓
N 55.764213°
W 11.634522°		 ← 171.83 m →
29 525 m²		 N 55.764213°
W 11.631775°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40967 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467685699462891 y=0.312557220458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467685699462891 × 217)
    floor (0.467685699462891 × 131072)
    floor (61300.5)     		tx = 61300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312557220458984 × 217)
    floor (0.312557220458984 × 131072)
    floor (40967.5)     		ty = 40967
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61300 / 40967 ti = "17/61300/40967"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61300/40967.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61300 ÷ 217
    61300 ÷ 131072     		x = 0.467681884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40967 ÷ 217
    40967 ÷ 131072     		y = 0.312553405761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467681884765625 × 2 - 1) × π
    -0.06463623046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.20306071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312553405761719 × 2 - 1) × π
    0.374893188476562 × 3.1415926535     		Φ = 1.17776168676516
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20306071} λ = -0.20306071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17776168676516))-π/2
    2×atan(3.24709804024362)-π/2
    2×1.27204621002251-π/2
    2.54409242004501-1.57079632675     		φ = 0.97329609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20306071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.634522°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97329609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.765758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61300 KachelY 40967 -0.20306071 0.97329609 -11.634522 55.765758
    Oben rechts KachelX + 1 61301 KachelY 40967 -0.20301277 0.97329609 -11.631775 55.765758
    Unten links KachelX 61300 KachelY + 1 40968 -0.20306071 0.97326912 -11.634522 55.764213
    Unten rechts KachelX + 1 61301 KachelY + 1 40968 -0.20301277 0.97326912 -11.631775 55.764213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97329609-0.97326912) × R
    2.69699999999595e-05 × 6371000     		dl = 171.825869999742m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97329609-0.97326912) × R
    2.69699999999595e-05 × 6371000     		dr = 171.825869999742m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20306071--0.20301277) × cos(0.97329609) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.562577567769158 × 6371000     		do = 171.825669943282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20306071--0.20301277) × cos(0.97326912) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.562599864863911 × 6371000     		du = 171.832480049947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97329609)-sin(0.97326912))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562577567769158-0.562599864863911)×R²
    abs(-0.20301277--0.20306071)×2.22970947533208e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.22970947533208e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.22970947533208e-05×40589641000000     		ar = 29524.6803043225m²