Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 6130 / 6322
↖ ↑ ↗
← S 69.442128°
E 89.384766°		 ← 1 715.91 m → S 69.442128°
E 89.428711°		 →
↑
1 715.26 m
↓
↑
1 715.26 m
↓
S 69.457554°
E 89.384766°		 ← 1 714.68 m →
2 942 180 m²		 S 69.457554°
E 89.428711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.74835205078125 y=0.77178955078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.74835205078125 × 213)
    floor (0.74835205078125 × 8192)
    floor (6130.5)     		tx = 6130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.77178955078125 × 213)
    floor (0.77178955078125 × 8192)
    floor (6322.5)     		ty = 6322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6130 / 6322 ti = "13/6130/6322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6130/6322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6130 ÷ 213
    6130 ÷ 8192     		x = 0.748291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6322 ÷ 213
    6322 ÷ 8192     		y = 0.771728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748291015625 × 2 - 1) × π
    0.49658203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.56005846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771728515625 × 2 - 1) × π
    -0.54345703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.70732061686792
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56005846} λ = 1.56005846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70732061686792))-π/2
    2×atan(0.181351051177522)-π/2
    2×0.179401280183912-π/2
    0.358802560367823-1.57079632675     		φ = -1.21199377
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56005846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.384766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21199377 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.442128°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6130 KachelY 6322 1.56005846 -1.21199377 89.384766 -69.442128
    Oben rechts KachelX + 1 6131 KachelY 6322 1.56082545 -1.21199377 89.428711 -69.442128
    Unten links KachelX 6130 KachelY + 1 6323 1.56005846 -1.21226300 89.384766 -69.457554
    Unten rechts KachelX + 1 6131 KachelY + 1 6323 1.56082545 -1.21226300 89.428711 -69.457554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21199377--1.21226300) × R
    0.000269230000000009 × 6371000     		dl = 1715.26433000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21199377--1.21226300) × R
    0.000269230000000009 × 6371000     		dr = 1715.26433000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56005846-1.56082545) × cos(-1.21199377) × R
    0.000766990000000023 × 0.35115329769298 × 6371000     		do = 1715.90823293817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56005846-1.56082545) × cos(-1.21226300) × R
    0.000766990000000023 × 0.350901200079368 × 6371000     		du = 1714.67635964083m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21199377)-sin(-1.21226300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35115329769298-0.350901200079368)×R²
    abs(1.56082545-1.56005846)×0.000252097613612667×R²
    0.000766990000000023×0.000252097613612667×6371000²
    0.000766990000000023×0.000252097613612667×40589641000000     		ar = 2942179.70912111m²