Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61298 / 33798
↖ ↑ ↗
← N 65.359967°
W 11.640015°		 ← 127.34 m → N 65.359967°
W 11.637268°		 →
↑
127.36 m
↓
↑
127.36 m
↓
N 65.358822°
W 11.640015°		 ← 127.34 m →
16 218 m²		 N 65.358822°
W 11.637268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33798 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467670440673828 y=0.257862091064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467670440673828 × 217)
    floor (0.467670440673828 × 131072)
    floor (61298.5)     		tx = 61298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257862091064453 × 217)
    floor (0.257862091064453 × 131072)
    floor (33798.5)     		ty = 33798
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61298 / 33798 ti = "17/61298/33798"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61298/33798.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61298 ÷ 217
    61298 ÷ 131072     		x = 0.467666625976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33798 ÷ 217
    33798 ÷ 131072     		y = 0.257858276367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467666625976562 × 2 - 1) × π
    -0.064666748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.20315658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.257858276367188 × 2 - 1) × π
    0.484283447265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.52142132014134
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20315658} λ = -0.20315658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52142132014134))-π/2
    2×atan(4.57872841138409)-π/2
    2×1.35577147693917-π/2
    2.71154295387835-1.57079632675     		φ = 1.14074663
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20315658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.640015°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14074663 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.359967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61298 KachelY 33798 -0.20315658 1.14074663 -11.640015 65.359967
    Oben rechts KachelX + 1 61299 KachelY 33798 -0.20310864 1.14074663 -11.637268 65.359967
    Unten links KachelX 61298 KachelY + 1 33799 -0.20315658 1.14072664 -11.640015 65.358822
    Unten rechts KachelX + 1 61299 KachelY + 1 33799 -0.20310864 1.14072664 -11.637268 65.358822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14074663-1.14072664) × R
    1.99899999999698e-05 × 6371000     		dl = 127.356289999807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14074663-1.14072664) × R
    1.99899999999698e-05 × 6371000     		dr = 127.356289999807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20315658--0.20310864) × cos(1.14074663) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.416915974598834 × 6371000     		do = 127.33687005966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20315658--0.20310864) × cos(1.14072664) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.416934144326711 × 6371000     		du = 127.342419562243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14074663)-sin(1.14072664))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416915974598834-0.416934144326711)×R²
    abs(-0.20310864--0.20315658)×1.81697278767712e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.81697278767712e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.81697278767712e-05×40589641000000     		ar = 16217.5047335439m²