Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61297 / 33801
↖ ↑ ↗
← N 65.356532°
W 11.642761°		 ← 127.35 m → N 65.356532°
W 11.640015°		 →
↑
127.36 m
↓
↑
127.36 m
↓
N 65.355387°
W 11.642761°		 ← 127.36 m →
16 220 m²		 N 65.355387°
W 11.640015°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33801 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467662811279297 y=0.257884979248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467662811279297 × 217)
    floor (0.467662811279297 × 131072)
    floor (61297.5)     		tx = 61297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257884979248047 × 217)
    floor (0.257884979248047 × 131072)
    floor (33801.5)     		ty = 33801
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61297 / 33801 ti = "17/61297/33801"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61297/33801.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61297 ÷ 217
    61297 ÷ 131072     		x = 0.467658996582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33801 ÷ 217
    33801 ÷ 131072     		y = 0.257881164550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467658996582031 × 2 - 1) × π
    -0.0646820068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.20320452
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.257881164550781 × 2 - 1) × π
    0.484237670898438 × 3.1415926535     		Φ = 1.52127750944248
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20320452} λ = -0.20320452}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52127750944248))-π/2
    2×atan(4.57806998859661)-π/2
    2×1.35574149649074-π/2
    2.71148299298149-1.57079632675     		φ = 1.14068667
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20320452} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.642761°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14068667 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.356532°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61297 KachelY 33801 -0.20320452 1.14068667 -11.642761 65.356532
    Oben rechts KachelX + 1 61298 KachelY 33801 -0.20315658 1.14068667 -11.640015 65.356532
    Unten links KachelX 61297 KachelY + 1 33802 -0.20320452 1.14066668 -11.642761 65.355387
    Unten rechts KachelX + 1 61298 KachelY + 1 33802 -0.20315658 1.14066668 -11.640015 65.355387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14068667-1.14066668) × R
    1.99899999999698e-05 × 6371000     		dl = 127.356289999807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14068667-1.14066668) × R
    1.99899999999698e-05 × 6371000     		dr = 127.356289999807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20320452--0.20315658) × cos(1.14068667) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.416970474193436 × 6371000     		do = 127.353515638671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20320452--0.20315658) × cos(1.14066668) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.416988643421554 × 6371000     		du = 127.359064988614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14068667)-sin(1.14066668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416970474193436-0.416988643421554)×R²
    abs(-0.20315658--0.20320452)×1.81692281175927e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.81692281175927e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.81692281175927e-05×40589641000000     		ar = 16219.6246431677m²