Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61293 / 40955
↖ ↑ ↗
← N 55.784296°
W 11.653748°		 ← 171.74 m → N 55.784296°
W 11.651001°		 →
↑
171.76 m
↓
↑
171.76 m
↓
N 55.782752°
W 11.653748°		 ← 171.75 m →
29 500 m²		 N 55.782752°
W 11.651001°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467632293701172 y=0.312465667724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467632293701172 × 217)
    floor (0.467632293701172 × 131072)
    floor (61293.5)     		tx = 61293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312465667724609 × 217)
    floor (0.312465667724609 × 131072)
    floor (40955.5)     		ty = 40955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61293 / 40955 ti = "17/61293/40955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61293/40955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61293 ÷ 217
    61293 ÷ 131072     		x = 0.467628479003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40955 ÷ 217
    40955 ÷ 131072     		y = 0.312461853027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467628479003906 × 2 - 1) × π
    -0.0647430419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.20339627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312461853027344 × 2 - 1) × π
    0.375076293945312 × 3.1415926535     		Φ = 1.1783369295606
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20339627} λ = -0.20339627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1783369295606))-π/2
    2×atan(3.2489664473397)-π/2
    2×1.27220798089483-π/2
    2.54441596178965-1.57079632675     		φ = 0.97361964
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20339627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.653748°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97361964 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.784296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61293 KachelY 40955 -0.20339627 0.97361964 -11.653748 55.784296
    Oben rechts KachelX + 1 61294 KachelY 40955 -0.20334833 0.97361964 -11.651001 55.784296
    Unten links KachelX 61293 KachelY + 1 40956 -0.20339627 0.97359268 -11.653748 55.782752
    Unten rechts KachelX + 1 61294 KachelY + 1 40956 -0.20334833 0.97359268 -11.651001 55.782752
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97361964-0.97359268) × R
    2.69600000000203e-05 × 6371000     		dl = 171.762160000129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97361964-0.97359268) × R
    2.69600000000203e-05 × 6371000     		dr = 171.762160000129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20339627--0.20334833) × cos(0.97361964) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.562310045141905 × 6371000     		do = 171.743961646886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20339627--0.20334833) × cos(0.97359268) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.562332338875607 × 6371000     		du = 171.750770727m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97361964)-sin(0.97359268))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562310045141905-0.562332338875607)×R²
    abs(-0.20334833--0.20339627)×2.22937337027718e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.22937337027718e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.22937337027718e-05×40589641000000     		ar = 29499.6985925317m²