Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61292 / 40954
↖ ↑ ↗
← N 55.785840°
W 11.656494°		 ← 171.70 m → N 55.785840°
W 11.653748°		 →
↑
171.70 m
↓
↑
171.70 m
↓
N 55.784296°
W 11.656494°		 ← 171.71 m →
29 481 m²		 N 55.784296°
W 11.653748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40954 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467624664306641 y=0.312458038330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467624664306641 × 217)
    floor (0.467624664306641 × 131072)
    floor (61292.5)     		tx = 61292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312458038330078 × 217)
    floor (0.312458038330078 × 131072)
    floor (40954.5)     		ty = 40954
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61292 / 40954 ti = "17/61292/40954"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61292/40954.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61292 ÷ 217
    61292 ÷ 131072     		x = 0.467620849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40954 ÷ 217
    40954 ÷ 131072     		y = 0.312454223632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467620849609375 × 2 - 1) × π
    -0.06475830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20344420
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312454223632812 × 2 - 1) × π
    0.375091552734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.17838486646022
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20344420} λ = -0.20344420}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17838486646022))-π/2
    2×atan(3.24912219645119)-π/2
    2×1.27222145832789-π/2
    2.54444291665579-1.57079632675     		φ = 0.97364659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20344420} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.656494°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97364659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.785840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61292 KachelY 40954 -0.20344420 0.97364659 -11.656494 55.785840
    Oben rechts KachelX + 1 61293 KachelY 40954 -0.20339627 0.97364659 -11.653748 55.785840
    Unten links KachelX 61292 KachelY + 1 40955 -0.20344420 0.97361964 -11.656494 55.784296
    Unten rechts KachelX + 1 61293 KachelY + 1 40955 -0.20339627 0.97361964 -11.653748 55.784296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97364659-0.97361964) × R
    2.69499999999701e-05 × 6371000     		dl = 171.698449999809m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97364659-0.97361964) × R
    2.69499999999701e-05 × 6371000     		dr = 171.698449999809m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20344420--0.20339627) × cos(0.97364659) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.562287759268908 × 6371000     		do = 171.701331614511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20344420--0.20339627) × cos(0.97361964) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.562310045141905 × 6371000     		du = 171.708136873929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97364659)-sin(0.97361964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562287759268908-0.562310045141905)×R²
    abs(-0.20339627--0.20344420)×2.22858729966857e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.22858729966857e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.22858729966857e-05×40589641000000     		ar = 29481.4367290612m²