Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61292 / 40803
↖ ↑ ↗
← N 56.018343°
W 11.656494°		 ← 170.68 m → N 56.018343°
W 11.653748°		 →
↑
170.74 m
↓
↑
170.74 m
↓
N 56.016808°
W 11.656494°		 ← 170.68 m →
29 142 m²		 N 56.016808°
W 11.653748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40803 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467624664306641 y=0.311305999755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467624664306641 × 217)
    floor (0.467624664306641 × 131072)
    floor (61292.5)     		tx = 61292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311305999755859 × 217)
    floor (0.311305999755859 × 131072)
    floor (40803.5)     		ty = 40803
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61292 / 40803 ti = "17/61292/40803"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61292/40803.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61292 ÷ 217
    61292 ÷ 131072     		x = 0.467620849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40803 ÷ 217
    40803 ÷ 131072     		y = 0.311302185058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467620849609375 × 2 - 1) × π
    -0.06475830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20344420
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311302185058594 × 2 - 1) × π
    0.377395629882812 × 3.1415926535     		Φ = 1.18562333830285
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20344420} λ = -0.20344420}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18562333830285))-π/2
    2×atan(3.27272620138417)-π/2
    2×1.27425042624139-π/2
    2.54850085248278-1.57079632675     		φ = 0.97770453
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20344420} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.656494°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97770453 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.018343°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61292 KachelY 40803 -0.20344420 0.97770453 -11.656494 56.018343
    Oben rechts KachelX + 1 61293 KachelY 40803 -0.20339627 0.97770453 -11.653748 56.018343
    Unten links KachelX 61292 KachelY + 1 40804 -0.20344420 0.97767773 -11.656494 56.016808
    Unten rechts KachelX + 1 61293 KachelY + 1 40804 -0.20339627 0.97767773 -11.653748 56.016808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97770453-0.97767773) × R
    2.67999999999935e-05 × 6371000     		dl = 170.742799999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97770453-0.97767773) × R
    2.67999999999935e-05 × 6371000     		dr = 170.742799999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20344420--0.20339627) × cos(0.97770453) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.558927459364993 × 6371000     		do = 170.675223614442m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20344420--0.20339627) × cos(0.97767773) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.558949682167943 × 6371000     		du = 170.682009614664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97770453)-sin(0.97767773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558927459364993-0.558949682167943)×R²
    abs(-0.20339627--0.20344420)×2.22228029506111e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.22228029506111e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.22228029506111e-05×40589641000000     		ar = 29142.1449026578m²