Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61290 / 33804
↖ ↑ ↗
← N 65.353096°
W 11.661988°		 ← 127.37 m → N 65.353096°
W 11.659241°		 →
↑
127.36 m
↓
↑
127.36 m
↓
N 65.351951°
W 11.661988°		 ← 127.38 m →
16 222 m²		 N 65.351951°
W 11.659241°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467609405517578 y=0.257907867431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467609405517578 × 217)
    floor (0.467609405517578 × 131072)
    floor (61290.5)     		tx = 61290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257907867431641 × 217)
    floor (0.257907867431641 × 131072)
    floor (33804.5)     		ty = 33804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61290 / 33804 ti = "17/61290/33804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61290/33804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61290 ÷ 217
    61290 ÷ 131072     		x = 0.467605590820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33804 ÷ 217
    33804 ÷ 131072     		y = 0.257904052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467605590820312 × 2 - 1) × π
    -0.064788818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.20354008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.257904052734375 × 2 - 1) × π
    0.48419189453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.52113369874362
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20354008} λ = -0.20354008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52113369874362))-π/2
    2×atan(4.57741166049057)-π/2
    2×1.35571151212324-π/2
    2.71142302424648-1.57079632675     		φ = 1.14062670
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20354008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.661988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14062670 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.353096°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61290 KachelY 33804 -0.20354008 1.14062670 -11.661988 65.353096
    Oben rechts KachelX + 1 61291 KachelY 33804 -0.20349214 1.14062670 -11.659241 65.353096
    Unten links KachelX 61290 KachelY + 1 33805 -0.20354008 1.14060671 -11.661988 65.351951
    Unten rechts KachelX + 1 61291 KachelY + 1 33805 -0.20349214 1.14060671 -11.659241 65.351951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14062670-1.14060671) × R
    1.99900000001918e-05 × 6371000     		dl = 127.356290001222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14062670-1.14060671) × R
    1.99900000001918e-05 × 6371000     		dr = 127.356290001222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20354008--0.20349214) × cos(1.14062670) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.417024981377896 × 6371000     		do = 127.370163535894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20354008--0.20349214) × cos(1.14060671) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.417043150106106 × 6371000     		du = 127.375712733152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14062670)-sin(1.14060671))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417024981377896-0.417043150106106)×R²
    abs(-0.20349214--0.20354008)×1.81687282099219e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.81687282099219e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.81687282099219e-05×40589641000000     		ar = 16221.7448479042m²