Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61289 / 40804
↖ ↑ ↗
← N 56.016808°
W 11.664734°		 ← 170.68 m → N 56.016808°
W 11.661988°		 →
↑
170.68 m
↓
↑
170.68 m
↓
N 56.015273°
W 11.664734°		 ← 170.69 m →
29 132 m²		 N 56.015273°
W 11.661988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467601776123047 y=0.311313629150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467601776123047 × 217)
    floor (0.467601776123047 × 131072)
    floor (61289.5)     		tx = 61289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311313629150391 × 217)
    floor (0.311313629150391 × 131072)
    floor (40804.5)     		ty = 40804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61289 / 40804 ti = "17/61289/40804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61289/40804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61289 ÷ 217
    61289 ÷ 131072     		x = 0.467597961425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40804 ÷ 217
    40804 ÷ 131072     		y = 0.311309814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467597961425781 × 2 - 1) × π
    -0.0648040771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.20358801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311309814453125 × 2 - 1) × π
    0.37738037109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.18557540140323
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20358801} λ = -0.20358801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18557540140323))-π/2
    2×atan(3.27256932079698)-π/2
    2×1.27423702935029-π/2
    2.54847405870057-1.57079632675     		φ = 0.97767773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20358801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.664734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97767773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.016808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61289 KachelY 40804 -0.20358801 0.97767773 -11.664734 56.016808
    Oben rechts KachelX + 1 61290 KachelY 40804 -0.20354008 0.97767773 -11.661988 56.016808
    Unten links KachelX 61289 KachelY + 1 40805 -0.20358801 0.97765094 -11.664734 56.015273
    Unten rechts KachelX + 1 61290 KachelY + 1 40805 -0.20354008 0.97765094 -11.661988 56.015273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97767773-0.97765094) × R
    2.67900000000543e-05 × 6371000     		dl = 170.679090000346m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97767773-0.97765094) × R
    2.67900000000543e-05 × 6371000     		dr = 170.679090000346m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20358801--0.20354008) × cos(0.97767773) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.558949682167943 × 6371000     		do = 170.682009614664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20358801--0.20354008) × cos(0.97765094) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.558971896277568 × 6371000     		du = 170.688792960273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97767773)-sin(0.97765094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558949682167943-0.558971896277568)×R²
    abs(-0.20354008--0.20358801)×2.22141096246631e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.22141096246631e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.22141096246631e-05×40589641000000     		ar = 29132.4289699123m²