Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61287 / 33803
↖ ↑ ↗
← N 65.354241°
W 11.670227°		 ← 127.36 m → N 65.354241°
W 11.667480°		 →
↑
127.36 m
↓
↑
127.36 m
↓
N 65.353096°
W 11.670227°		 ← 127.37 m →
16 221 m²		 N 65.353096°
W 11.667480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61287 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33803 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467586517333984 y=0.257900238037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467586517333984 × 217)
    floor (0.467586517333984 × 131072)
    floor (61287.5)     		tx = 61287
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257900238037109 × 217)
    floor (0.257900238037109 × 131072)
    floor (33803.5)     		ty = 33803
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61287 / 33803 ti = "17/61287/33803"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61287/33803.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61287 ÷ 217
    61287 ÷ 131072     		x = 0.467582702636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33803 ÷ 217
    33803 ÷ 131072     		y = 0.257896423339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467582702636719 × 2 - 1) × π
    -0.0648345947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20368389
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.257896423339844 × 2 - 1) × π
    0.484207153320312 × 3.1415926535     		Φ = 1.52118163564324
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20368389} λ = -0.20368389}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52118163564324))-π/2
    2×atan(4.57763109267327)-π/2
    2×1.35572150734789-π/2
    2.71144301469577-1.57079632675     		φ = 1.14064669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20368389} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.670227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14064669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.354241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61287 KachelY 33803 -0.20368389 1.14064669 -11.670227 65.354241
    Oben rechts KachelX + 1 61288 KachelY 33803 -0.20363595 1.14064669 -11.667480 65.354241
    Unten links KachelX 61287 KachelY + 1 33804 -0.20368389 1.14062670 -11.670227 65.353096
    Unten rechts KachelX + 1 61288 KachelY + 1 33804 -0.20363595 1.14062670 -11.667480 65.353096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14064669-1.14062670) × R
    1.99899999999698e-05 × 6371000     		dl = 127.356289999807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14064669-1.14062670) × R
    1.99899999999698e-05 × 6371000     		dr = 127.356289999807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20368389--0.20363595) × cos(1.14064669) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.417006812483043 × 6371000     		do = 127.364614287665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20368389--0.20363595) × cos(1.14062670) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.417024981377896 × 6371000     		du = 127.37016353582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14064669)-sin(1.14062670))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417006812483043-0.417024981377896)×R²
    abs(-0.20363595--0.20368389)×1.81688948529546e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.81688948529546e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.81688948529546e-05×40589641000000     		ar = 16221.0381191788m²