Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61286 / 40810
↖ ↑ ↗
← N 56.007596°
W 11.672973°		 ← 170.72 m → N 56.007596°
W 11.670227°		 →
↑
170.74 m
↓
↑
170.74 m
↓
N 56.006060°
W 11.672973°		 ← 170.73 m →
29 150 m²		 N 56.006060°
W 11.670227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467578887939453 y=0.311359405517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467578887939453 × 217)
    floor (0.467578887939453 × 131072)
    floor (61286.5)     		tx = 61286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311359405517578 × 217)
    floor (0.311359405517578 × 131072)
    floor (40810.5)     		ty = 40810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61286 / 40810 ti = "17/61286/40810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61286/40810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61286 ÷ 217
    61286 ÷ 131072     		x = 0.467575073242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40810 ÷ 217
    40810 ÷ 131072     		y = 0.311355590820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467575073242188 × 2 - 1) × π
    -0.064849853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20373182
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311355590820312 × 2 - 1) × π
    0.377288818359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.18528778000551
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20373182} λ = -0.20373182}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18528778000551))-π/2
    2×atan(3.27162819518522)-π/2
    2×1.27415663682017-π/2
    2.54831327364033-1.57079632675     		φ = 0.97751695
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20373182} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.672973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97751695 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.007596°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61286 KachelY 40810 -0.20373182 0.97751695 -11.672973 56.007596
    Oben rechts KachelX + 1 61287 KachelY 40810 -0.20368389 0.97751695 -11.670227 56.007596
    Unten links KachelX 61286 KachelY + 1 40811 -0.20373182 0.97749015 -11.672973 56.006060
    Unten rechts KachelX + 1 61287 KachelY + 1 40811 -0.20368389 0.97749015 -11.670227 56.006060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97751695-0.97749015) × R
    2.68000000001045e-05 × 6371000     		dl = 170.742800000666m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97751695-0.97749015) × R
    2.68000000001045e-05 × 6371000     		dr = 170.742800000666m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20373182--0.20368389) × cos(0.97751695) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.559082993972194 × 6371000     		do = 170.722717977833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20373182--0.20368389) × cos(0.97749015) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.559105213964889 × 6371000     		du = 170.729503119909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97751695)-sin(0.97749015))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.559082993972194-0.559105213964889)×R²
    abs(-0.20368389--0.20373182)×2.22199926951383e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.22199926951383e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.22199926951383e-05×40589641000000     		ar = 29150.2541500034m²