Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61283 / 41253
↖ ↑ ↗
← N 55.321331°
W 11.681213°		 ← 173.74 m → N 55.321331°
W 11.678467°		 →
↑
173.74 m
↓
↑
173.74 m
↓
N 55.319769°
W 11.681213°		 ← 173.75 m →
30 186 m²		 N 55.319769°
W 11.678467°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61283 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41253 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467555999755859 y=0.314739227294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467555999755859 × 217)
    floor (0.467555999755859 × 131072)
    floor (61283.5)     		tx = 61283
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314739227294922 × 217)
    floor (0.314739227294922 × 131072)
    floor (41253.5)     		ty = 41253
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61283 / 41253 ti = "17/61283/41253"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61283/41253.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61283 ÷ 217
    61283 ÷ 131072     		x = 0.467552185058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41253 ÷ 217
    41253 ÷ 131072     		y = 0.314735412597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467552185058594 × 2 - 1) × π
    -0.0648956298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20387563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314735412597656 × 2 - 1) × π
    0.370529174804688 × 3.1415926535     		Φ = 1.16405173347382
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20387563} λ = -0.20387563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16405173347382))-π/2
    2×atan(3.20288425478967)-π/2
    2×1.26816785417547-π/2
    2.53633570835093-1.57079632675     		φ = 0.96553938
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20387563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.681213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96553938 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.321331°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61283 KachelY 41253 -0.20387563 0.96553938 -11.681213 55.321331
    Oben rechts KachelX + 1 61284 KachelY 41253 -0.20382770 0.96553938 -11.678467 55.321331
    Unten links KachelX 61283 KachelY + 1 41254 -0.20387563 0.96551211 -11.681213 55.319769
    Unten rechts KachelX + 1 61284 KachelY + 1 41254 -0.20382770 0.96551211 -11.678467 55.319769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96553938-0.96551211) × R
    2.72699999999126e-05 × 6371000     		dl = 173.737169999443m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96553938-0.96551211) × R
    2.72699999999126e-05 × 6371000     		dr = 173.737169999443m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20387563--0.20382770) × cos(0.96553938) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.56897339675905 × 6371000     		do = 173.742871450345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20387563--0.20382770) × cos(0.96551211) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.568995822193669 × 6371000     		du = 173.749719326584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96553938)-sin(0.96551211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56897339675905-0.568995822193669)×R²
    abs(-0.20382770--0.20387563)×2.24254346186115e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.24254346186115e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.24254346186115e-05×40589641000000     		ar = 30186.189660428m²