Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61282 / 40950
↖ ↑ ↗
← N 55.792017°
W 11.683960°		 ← 171.71 m → N 55.792017°
W 11.681213°		 →
↑
171.70 m
↓
↑
171.70 m
↓
N 55.790473°
W 11.683960°		 ← 171.72 m →
29 483 m²		 N 55.790473°
W 11.681213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40950 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467548370361328 y=0.312427520751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467548370361328 × 217)
    floor (0.467548370361328 × 131072)
    floor (61282.5)     		tx = 61282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312427520751953 × 217)
    floor (0.312427520751953 × 131072)
    floor (40950.5)     		ty = 40950
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61282 / 40950 ti = "17/61282/40950"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61282/40950.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61282 ÷ 217
    61282 ÷ 131072     		x = 0.467544555664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40950 ÷ 217
    40950 ÷ 131072     		y = 0.312423706054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467544555664062 × 2 - 1) × π
    -0.064910888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.20392357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312423706054688 × 2 - 1) × π
    0.375152587890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.1785766140587
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20392357} λ = -0.20392357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1785766140587))-π/2
    2×atan(3.24974526756381)-π/2
    2×1.27227536271778-π/2
    2.54455072543557-1.57079632675     		φ = 0.97375440
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20392357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.683960°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97375440 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.792017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61282 KachelY 40950 -0.20392357 0.97375440 -11.683960 55.792017
    Oben rechts KachelX + 1 61283 KachelY 40950 -0.20387563 0.97375440 -11.681213 55.792017
    Unten links KachelX 61282 KachelY + 1 40951 -0.20392357 0.97372745 -11.683960 55.790473
    Unten rechts KachelX + 1 61283 KachelY + 1 40951 -0.20387563 0.97372745 -11.681213 55.790473
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97375440-0.97372745) × R
    2.69499999999701e-05 × 6371000     		dl = 171.698449999809m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97375440-0.97372745) × R
    2.69499999999701e-05 × 6371000     		dr = 171.698449999809m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20392357--0.20387563) × cos(0.97375440) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.56219860342315 × 6371000     		do = 171.709924477469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20392357--0.20387563) × cos(0.97372745) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.562220890929765 × 6371000     		du = 171.71673165567m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97375440)-sin(0.97372745))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56219860342315-0.562220890929765)×R²
    abs(-0.20387563--0.20392357)×2.22875066151484e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.22875066151484e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.22875066151484e-05×40589641000000     		ar = 29482.912275065m²