Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61281 / 13472
↖ ↑ ↗
← N 72.127936°
E156.626587°		 ← 187.45 m → N 72.127936°
E156.632080°		 →
↑
187.43 m
↓
↑
187.43 m
↓
N 72.126251°
E156.626587°		 ← 187.46 m →
35 136 m²		 N 72.126251°
E156.632080°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.935081481933594 y=0.205574035644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.935081481933594 × 216)
    floor (0.935081481933594 × 65536)
    floor (61281.5)     		tx = 61281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205574035644531 × 216)
    floor (0.205574035644531 × 65536)
    floor (13472.5)     		ty = 13472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61281 / 13472 ti = "16/61281/13472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61281/13472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61281 ÷ 216
    61281 ÷ 65536     		x = 0.935073852539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13472 ÷ 216
    13472 ÷ 65536     		y = 0.20556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.935073852539062 × 2 - 1) × π
    0.870147705078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.73364964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20556640625 × 2 - 1) × π
    0.5888671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.84998083013721
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73364964} λ = 2.73364964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84998083013721))-π/2
    2×atan(6.35969760690275)-π/2
    2×1.41483314877588-π/2
    2.82966629755177-1.57079632675     		φ = 1.25886997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73364964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.626587°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25886997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.127936°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61281 KachelY 13472 2.73364964 1.25886997 156.626587 72.127936
    Oben rechts KachelX + 1 61282 KachelY 13472 2.73374551 1.25886997 156.632080 72.127936
    Unten links KachelX 61281 KachelY + 1 13473 2.73364964 1.25884055 156.626587 72.126251
    Unten rechts KachelX + 1 61282 KachelY + 1 13473 2.73374551 1.25884055 156.632080 72.126251
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25886997-1.25884055) × R
    2.94199999999467e-05 × 6371000     		dl = 187.434819999661m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25886997-1.25884055) × R
    2.94199999999467e-05 × 6371000     		dr = 187.434819999661m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73364964-2.73374551) × cos(1.25886997) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.306892603538866 × 6371000     		do = 187.446248944994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73364964-2.73374551) × cos(1.25884055) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.306920603718985 × 6371000     		du = 187.463351112568m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25886997)-sin(1.25884055))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.306892603538866-0.306920603718985)×R²
    abs(2.73374551-2.73364964)×2.80001801193364e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.80001801193364e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.80001801193364e-05×40589641000000     		ar = 35135.5567040419m²