Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61280 / 13470
↖ ↑ ↗
← N 72.131308°
E156.621094°		 ← 187.43 m → N 72.131308°
E156.626587°		 →
↑
187.43 m
↓
↑
187.43 m
↓
N 72.129622°
E156.621094°		 ← 187.45 m →
35 133 m²		 N 72.129622°
E156.626587°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.935066223144531 y=0.205543518066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.935066223144531 × 216)
    floor (0.935066223144531 × 65536)
    floor (61280.5)     		tx = 61280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205543518066406 × 216)
    floor (0.205543518066406 × 65536)
    floor (13470.5)     		ty = 13470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61280 / 13470 ti = "16/61280/13470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61280/13470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61280 ÷ 216
    61280 ÷ 65536     		x = 0.93505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13470 ÷ 216
    13470 ÷ 65536     		y = 0.205535888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93505859375 × 2 - 1) × π
    0.8701171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.73355376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.205535888671875 × 2 - 1) × π
    0.58892822265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.85017257773569
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73355376} λ = 2.73355376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.85017257773569))-π/2
    2×atan(6.36091718056736)-π/2
    2×1.41486256905106-π/2
    2.82972513810211-1.57079632675     		φ = 1.25892881
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73355376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.621094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25892881 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.131308°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61280 KachelY 13470 2.73355376 1.25892881 156.621094 72.131308
    Oben rechts KachelX + 1 61281 KachelY 13470 2.73364964 1.25892881 156.626587 72.131308
    Unten links KachelX 61280 KachelY + 1 13471 2.73355376 1.25889939 156.621094 72.129622
    Unten rechts KachelX + 1 61281 KachelY + 1 13471 2.73364964 1.25889939 156.626587 72.129622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25892881-1.25889939) × R
    2.94199999999467e-05 × 6371000     		dl = 187.434819999661m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25892881-1.25889939) × R
    2.94199999999467e-05 × 6371000     		dr = 187.434819999661m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73355376-2.73364964) × cos(1.25892881) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.306836602381771 × 6371000     		do = 187.431592682953m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73355376-2.73364964) × cos(1.25889939) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.306864603093119 × 6371000     		du = 187.448696958922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25892881)-sin(1.25889939))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.306836602381771-0.306864603093119)×R²
    abs(2.73364964-2.73355376)×2.80007113485636e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.80007113485636e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.80007113485636e-05×40589641000000     		ar = 35132.8098078632m²