Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6128 / 10293
↖ ↑ ↗
← S 41.853196°
W 45.351563°		 ← 1 819.89 m → S 41.853196°
W 45.329590°		 →
↑
1 819.62 m
↓
↑
1 819.62 m
↓
S 41.869561°
W 45.351563°		 ← 1 819.43 m →
3 311 092 m²		 S 41.869561°
W 45.329590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10293 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374053955078125 y=0.628265380859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374053955078125 × 214)
    floor (0.374053955078125 × 16384)
    floor (6128.5)     		tx = 6128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628265380859375 × 214)
    floor (0.628265380859375 × 16384)
    floor (10293.5)     		ty = 10293
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6128 / 10293 ti = "14/6128/10293"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6128/10293.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6128 ÷ 214
    6128 ÷ 16384     		x = 0.3740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10293 ÷ 214
    10293 ÷ 16384     		y = 0.62823486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3740234375 × 2 - 1) × π
    -0.251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.79153409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62823486328125 × 2 - 1) × π
    -0.2564697265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.805723408813904
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79153409} λ = -0.79153409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.805723408813904))-π/2
    2×atan(0.446764616169586)-π/2
    2×0.420160123244529-π/2
    0.840320246489059-1.57079632675     		φ = -0.73047608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79153409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.351563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73047608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.853196°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6128 KachelY 10293 -0.79153409 -0.73047608 -45.351563 -41.853196
    Oben rechts KachelX + 1 6129 KachelY 10293 -0.79115059 -0.73047608 -45.329590 -41.853196
    Unten links KachelX 6128 KachelY + 1 10294 -0.79153409 -0.73076169 -45.351563 -41.869561
    Unten rechts KachelX + 1 6129 KachelY + 1 10294 -0.79115059 -0.73076169 -45.329590 -41.869561
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73047608--0.73076169) × R
    0.000285610000000047 × 6371000     		dl = 1819.6213100003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73047608--0.73076169) × R
    0.000285610000000047 × 6371000     		dr = 1819.6213100003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79153409--0.79115059) × cos(-0.73047608) × R
    0.000383499999999981 × 0.744856834613336 × 6371000     		do = 1819.89268958873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79153409--0.79115059) × cos(-0.73076169) × R
    0.000383499999999981 × 0.744666238297177 × 6371000     		du = 1819.42700970728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73047608)-sin(-0.73076169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.744856834613336-0.744666238297177)×R²
    abs(-0.79115059--0.79153409)×0.000190596316158698×R²
    0.000383499999999981×0.000190596316158698×6371000²
    0.000383499999999981×0.000190596316158698×40589641000000     		ar = 3311091.86187829m²