Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61276 / 33812
↖ ↑ ↗
← N 65.343931°
W 11.700439°		 ← 127.39 m → N 65.343931°
W 11.697693°		 →
↑
127.42 m
↓
↑
127.42 m
↓
N 65.342785°
W 11.700439°		 ← 127.39 m →
16 232 m²		 N 65.342785°
W 11.697693°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467502593994141 y=0.257968902587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467502593994141 × 217)
    floor (0.467502593994141 × 131072)
    floor (61276.5)     		tx = 61276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257968902587891 × 217)
    floor (0.257968902587891 × 131072)
    floor (33812.5)     		ty = 33812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61276 / 33812 ti = "17/61276/33812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61276/33812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61276 ÷ 217
    61276 ÷ 131072     		x = 0.467498779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33812 ÷ 217
    33812 ÷ 131072     		y = 0.257965087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467498779296875 × 2 - 1) × π
    -0.06500244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20421119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.257965087890625 × 2 - 1) × π
    0.48406982421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.52075020354666
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20421119} λ = -0.20421119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52075020354666))-π/2
    2×atan(4.57565658165792)-π/2
    2×1.35563153464691-π/2
    2.71126306929383-1.57079632675     		φ = 1.14046674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20421119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.700439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14046674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.343931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61276 KachelY 33812 -0.20421119 1.14046674 -11.700439 65.343931
    Oben rechts KachelX + 1 61277 KachelY 33812 -0.20416326 1.14046674 -11.697693 65.343931
    Unten links KachelX 61276 KachelY + 1 33813 -0.20421119 1.14044674 -11.700439 65.342785
    Unten rechts KachelX + 1 61277 KachelY + 1 33813 -0.20416326 1.14044674 -11.697693 65.342785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14046674-1.14044674) × R
    1.9999999999909e-05 × 6371000     		dl = 127.41999999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14046674-1.14044674) × R
    1.9999999999909e-05 × 6371000     		dr = 127.41999999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20421119--0.20416326) × cos(1.14046674) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.417170362890086 × 6371000     		do = 127.387988867884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20421119--0.20416326) × cos(1.14044674) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.417188539372755 × 6371000     		du = 127.39353927553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14046674)-sin(1.14044674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417170362890086-0.417188539372755)×R²
    abs(-0.20416326--0.20421119)×1.81764826685527e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.81764826685527e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.81764826685527e-05×40589641000000     		ar = 16232.1311585604m²