Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61274 / 33813
↖ ↑ ↗
← N 65.342785°
W 11.705933°		 ← 127.42 m → N 65.342785°
W 11.703186°		 →
↑
127.36 m
↓
↑
127.36 m
↓
N 65.341640°
W 11.705933°		 ← 127.43 m →
16 228 m²		 N 65.341640°
W 11.703186°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61274 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33813 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467487335205078 y=0.257976531982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467487335205078 × 217)
    floor (0.467487335205078 × 131072)
    floor (61274.5)     		tx = 61274
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257976531982422 × 217)
    floor (0.257976531982422 × 131072)
    floor (33813.5)     		ty = 33813
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61274 / 33813 ti = "17/61274/33813"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61274/33813.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61274 ÷ 217
    61274 ÷ 131072     		x = 0.467483520507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33813 ÷ 217
    33813 ÷ 131072     		y = 0.257972717285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467483520507812 × 2 - 1) × π
    -0.065032958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.20430707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.257972717285156 × 2 - 1) × π
    0.484054565429688 × 3.1415926535     		Φ = 1.52070226664704
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20430707} λ = -0.20430707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52070226664704))-π/2
    2×atan(4.57543724412489)-π/2
    2×1.35562153550225-π/2
    2.7112430710045-1.57079632675     		φ = 1.14044674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20430707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.705933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14044674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.342785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61274 KachelY 33813 -0.20430707 1.14044674 -11.705933 65.342785
    Oben rechts KachelX + 1 61275 KachelY 33813 -0.20425913 1.14044674 -11.703186 65.342785
    Unten links KachelX 61274 KachelY + 1 33814 -0.20430707 1.14042675 -11.705933 65.341640
    Unten rechts KachelX + 1 61275 KachelY + 1 33814 -0.20425913 1.14042675 -11.703186 65.341640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14044674-1.14042675) × R
    1.99899999999698e-05 × 6371000     		dl = 127.356289999807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14044674-1.14042675) × R
    1.99899999999698e-05 × 6371000     		dr = 127.356289999807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20430707--0.20425913) × cos(1.14044674) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.417188539372755 × 6371000     		do = 127.420118357433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20430707--0.20425913) × cos(1.14042675) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.417206706600432 × 6371000     		du = 127.42566709639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14044674)-sin(1.14042675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417188539372755-0.417206706600432)×R²
    abs(-0.20425913--0.20430707)×1.81672276770017e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.81672276770017e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.81672276770017e-05×40589641000000     		ar = 16228.1068792637m²