Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61274 / 13733
↖ ↑ ↗
← N 71.682663°
E156.588135°		 ← 191.96 m → N 71.682663°
E156.593628°		 →
↑
191.96 m
↓
↑
191.96 m
↓
N 71.680936°
E156.588135°		 ← 191.98 m →
36 850 m²		 N 71.680936°
E156.593628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61274 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13733 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.934974670410156 y=0.209556579589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.934974670410156 × 216)
    floor (0.934974670410156 × 65536)
    floor (61274.5)     		tx = 61274
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209556579589844 × 216)
    floor (0.209556579589844 × 65536)
    floor (13733.5)     		ty = 13733
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61274 / 13733 ti = "16/61274/13733"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61274/13733.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61274 ÷ 216
    61274 ÷ 65536     		x = 0.934967041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13733 ÷ 216
    13733 ÷ 65536     		y = 0.209548950195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.934967041015625 × 2 - 1) × π
    0.86993408203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.73297852
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.209548950195312 × 2 - 1) × π
    0.580902099609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.82495776853554
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73297852} λ = 2.73297852}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82495776853554))-π/2
    2×atan(6.2025330715187)-π/2
    2×1.41094740402322-π/2
    2.82189480804645-1.57079632675     		φ = 1.25109848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73297852} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.588135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25109848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.682663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61274 KachelY 13733 2.73297852 1.25109848 156.588135 71.682663
    Oben rechts KachelX + 1 61275 KachelY 13733 2.73307439 1.25109848 156.593628 71.682663
    Unten links KachelX 61274 KachelY + 1 13734 2.73297852 1.25106835 156.588135 71.680936
    Unten rechts KachelX + 1 61275 KachelY + 1 13734 2.73307439 1.25106835 156.593628 71.680936
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25109848-1.25106835) × R
    3.01300000000726e-05 × 6371000     		dl = 191.958230000463m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25109848-1.25106835) × R
    3.01300000000726e-05 × 6371000     		dr = 191.958230000463m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73297852-2.73307439) × cos(1.25109848) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.314279731737088 × 6371000     		do = 191.95821650389m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73297852-2.73307439) × cos(1.25106835) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.314308334920046 × 6371000     		du = 191.975686978224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25109848)-sin(1.25106835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.314279731737088-0.314308334920046)×R²
    abs(2.73307439-2.73297852)×2.86031829577205e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.86031829577205e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.86031829577205e-05×40589641000000     		ar = 36849.6362778375m²