Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61273 / 13735
↖ ↑ ↗
← N 71.679209°
E156.582642°		 ← 191.99 m → N 71.679209°
E156.588135°		 →
↑
191.96 m
↓
↑
191.96 m
↓
N 71.677483°
E156.582642°		 ← 192.01 m →
36 856 m²		 N 71.677483°
E156.588135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61273 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.934959411621094 y=0.209587097167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.934959411621094 × 216)
    floor (0.934959411621094 × 65536)
    floor (61273.5)     		tx = 61273
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209587097167969 × 216)
    floor (0.209587097167969 × 65536)
    floor (13735.5)     		ty = 13735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61273 / 13735 ti = "16/61273/13735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61273/13735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61273 ÷ 216
    61273 ÷ 65536     		x = 0.934951782226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13735 ÷ 216
    13735 ÷ 65536     		y = 0.209579467773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.934951782226562 × 2 - 1) × π
    0.869903564453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.73288265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.209579467773438 × 2 - 1) × π
    0.580841064453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.82476602093706
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73288265} λ = 2.73288265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82476602093706))-π/2
    2×atan(6.20134386471516)-π/2
    2×1.41091727008887-π/2
    2.82183454017773-1.57079632675     		φ = 1.25103821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73288265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.582642°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25103821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.679209°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61273 KachelY 13735 2.73288265 1.25103821 156.582642 71.679209
    Oben rechts KachelX + 1 61274 KachelY 13735 2.73297852 1.25103821 156.588135 71.679209
    Unten links KachelX 61273 KachelY + 1 13736 2.73288265 1.25100808 156.582642 71.677483
    Unten rechts KachelX + 1 61274 KachelY + 1 13736 2.73297852 1.25100808 156.588135 71.677483
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25103821-1.25100808) × R
    3.01299999998506e-05 × 6371000     		dl = 191.958229999048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25103821-1.25100808) × R
    3.01299999998506e-05 × 6371000     		dr = 191.958229999048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73288265-2.73297852) × cos(1.25103821) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.314336947310784 × 6371000     		do = 191.993163076557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73288265-2.73297852) × cos(1.25100808) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.314365549922952 × 6371000     		du = 192.010633202259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25103821)-sin(1.25100808))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.314336947310784-0.314365549922952)×R²
    abs(2.73297852-2.73288265)×2.86026121680272e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.86026121680272e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.86026121680272e-05×40589641000000     		ar = 36856.344525962m²