Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61272 / 40763
↖ ↑ ↗
← N 56.079700°
W 11.711426°		 ← 170.44 m → N 56.079700°
W 11.708679°		 →
↑
170.42 m
↓
↑
170.42 m
↓
N 56.078167°
W 11.711426°		 ← 170.45 m →
29 048 m²		 N 56.078167°
W 11.708679°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467472076416016 y=0.311000823974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467472076416016 × 217)
    floor (0.467472076416016 × 131072)
    floor (61272.5)     		tx = 61272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311000823974609 × 217)
    floor (0.311000823974609 × 131072)
    floor (40763.5)     		ty = 40763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61272 / 40763 ti = "17/61272/40763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61272/40763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61272 ÷ 217
    61272 ÷ 131072     		x = 0.46746826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40763 ÷ 217
    40763 ÷ 131072     		y = 0.310997009277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46746826171875 × 2 - 1) × π
    -0.0650634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20440294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310997009277344 × 2 - 1) × π
    0.378005981445312 × 3.1415926535     		Φ = 1.18754081428765
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20440294} λ = -0.20440294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18754081428765))-π/2
    2×atan(3.27900759556683)-π/2
    2×1.274785865345-π/2
    2.54957173069-1.57079632675     		φ = 0.97877540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20440294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.711426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97877540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.079700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61272 KachelY 40763 -0.20440294 0.97877540 -11.711426 56.079700
    Oben rechts KachelX + 1 61273 KachelY 40763 -0.20435500 0.97877540 -11.708679 56.079700
    Unten links KachelX 61272 KachelY + 1 40764 -0.20440294 0.97874865 -11.711426 56.078167
    Unten rechts KachelX + 1 61273 KachelY + 1 40764 -0.20435500 0.97874865 -11.708679 56.078167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97877540-0.97874865) × R
    2.67499999999643e-05 × 6371000     		dl = 170.424249999773m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97877540-0.97874865) × R
    2.67499999999643e-05 × 6371000     		dr = 170.424249999773m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20440294--0.20435500) × cos(0.97877540) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.558039155923894 × 6371000     		do = 170.439522147018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20440294--0.20435500) × cos(0.97874865) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.558061353265271 × 6371000     		du = 170.446301786434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97877540)-sin(0.97874865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558039155923894-0.558061353265271)×R²
    abs(-0.20435500--0.20440294)×2.21973413762067e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.21973413762067e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.21973413762067e-05×40589641000000     		ar = 29047.6054415664m²