Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61271 / 40762
↖ ↑ ↗
← N 56.081232°
W 11.714173°		 ← 170.43 m → N 56.081232°
W 11.711426°		 →
↑
170.42 m
↓
↑
170.42 m
↓
N 56.079700°
W 11.714173°		 ← 170.44 m →
29 046 m²		 N 56.079700°
W 11.711426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467464447021484 y=0.310993194580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467464447021484 × 217)
    floor (0.467464447021484 × 131072)
    floor (61271.5)     		tx = 61271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310993194580078 × 217)
    floor (0.310993194580078 × 131072)
    floor (40762.5)     		ty = 40762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61271 / 40762 ti = "17/61271/40762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61271/40762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61271 ÷ 217
    61271 ÷ 131072     		x = 0.467460632324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40762 ÷ 217
    40762 ÷ 131072     		y = 0.310989379882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467460632324219 × 2 - 1) × π
    -0.0650787353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20445088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310989379882812 × 2 - 1) × π
    0.378021240234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.18758875118727
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20445088} λ = -0.20445088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18758875118727))-π/2
    2×atan(3.27916478479235)-π/2
    2×1.2747992404124-π/2
    2.54959848082479-1.57079632675     		φ = 0.97880215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20445088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.714173°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97880215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.081232°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61271 KachelY 40762 -0.20445088 0.97880215 -11.714173 56.081232
    Oben rechts KachelX + 1 61272 KachelY 40762 -0.20440294 0.97880215 -11.711426 56.081232
    Unten links KachelX 61271 KachelY + 1 40763 -0.20445088 0.97877540 -11.714173 56.079700
    Unten rechts KachelX + 1 61272 KachelY + 1 40763 -0.20440294 0.97877540 -11.711426 56.079700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97880215-0.97877540) × R
    2.67500000000753e-05 × 6371000     		dl = 170.42425000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97880215-0.97877540) × R
    2.67500000000753e-05 × 6371000     		dr = 170.42425000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20445088--0.20440294) × cos(0.97880215) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.558016958183206 × 6371000     		do = 170.432742385642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20445088--0.20440294) × cos(0.97877540) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.558039155923894 × 6371000     		du = 170.439522147018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97880215)-sin(0.97877540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558016958183206-0.558039155923894)×R²
    abs(-0.20440294--0.20445088)×2.21977406882345e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.21977406882345e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.21977406882345e-05×40589641000000     		ar = 29046.4500161696m²