Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61270 / 40974
↖ ↑ ↗
← N 55.754941°
W 11.716919°		 ← 171.84 m → N 55.754941°
W 11.714173°		 →
↑
171.89 m
↓
↑
171.89 m
↓
N 55.753395°
W 11.716919°		 ← 171.84 m →
29 538 m²		 N 55.753395°
W 11.714173°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40974 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467456817626953 y=0.312610626220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467456817626953 × 217)
    floor (0.467456817626953 × 131072)
    floor (61270.5)     		tx = 61270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312610626220703 × 217)
    floor (0.312610626220703 × 131072)
    floor (40974.5)     		ty = 40974
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61270 / 40974 ti = "17/61270/40974"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61270/40974.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61270 ÷ 217
    61270 ÷ 131072     		x = 0.467453002929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40974 ÷ 217
    40974 ÷ 131072     		y = 0.312606811523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467453002929688 × 2 - 1) × π
    -0.065093994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20449881
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312606811523438 × 2 - 1) × π
    0.374786376953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.17742612846782
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20449881} λ = -0.20449881}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17742612846782))-π/2
    2×atan(3.24600863234409)-π/2
    2×1.27195180814421-π/2
    2.54390361628842-1.57079632675     		φ = 0.97310729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20449881} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.716919°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97310729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.754941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61270 KachelY 40974 -0.20449881 0.97310729 -11.716919 55.754941
    Oben rechts KachelX + 1 61271 KachelY 40974 -0.20445088 0.97310729 -11.714173 55.754941
    Unten links KachelX 61270 KachelY + 1 40975 -0.20449881 0.97308031 -11.716919 55.753395
    Unten rechts KachelX + 1 61271 KachelY + 1 40975 -0.20445088 0.97308031 -11.714173 55.753395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97310729-0.97308031) × R
    2.69800000000098e-05 × 6371000     		dl = 171.889580000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97310729-0.97308031) × R
    2.69800000000098e-05 × 6371000     		dr = 171.889580000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20449881--0.20445088) × cos(0.97310729) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.562733647104534 × 6371000     		do = 171.83748882915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20449881--0.20445088) × cos(0.97308031) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.562755949600455 × 6371000     		du = 171.844299164578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97310729)-sin(0.97308031))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562733647104534-0.562755949600455)×R²
    abs(-0.20445088--0.20449881)×2.23024959211671e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.23024959211671e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.23024959211671e-05×40589641000000     		ar = 29537.6590975995m²