Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6127 / 6397
↖ ↑ ↗
← S 70.568803°
E 89.252930°		 ← 1 625.61 m → S 70.568803°
E 89.296875°		 →
↑
1 624.99 m
↓
↑
1 624.99 m
↓
S 70.583417°
E 89.252930°		 ← 1 624.44 m →
2 640 645 m²		 S 70.583417°
E 89.296875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6397 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.74798583984375 y=0.78094482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.74798583984375 × 213)
    floor (0.74798583984375 × 8192)
    floor (6127.5)     		tx = 6127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.78094482421875 × 213)
    floor (0.78094482421875 × 8192)
    floor (6397.5)     		ty = 6397
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6127 / 6397 ti = "13/6127/6397"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6127/6397.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6127 ÷ 213
    6127 ÷ 8192     		x = 0.7479248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6397 ÷ 213
    6397 ÷ 8192     		y = 0.7808837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7479248046875 × 2 - 1) × π
    0.495849609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.55775749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7808837890625 × 2 - 1) × π
    -0.561767578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.76484489641199
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55775749} λ = 1.55775749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76484489641199))-π/2
    2×atan(0.171213340228982)-π/2
    2×0.169569179863338-π/2
    0.339138359726677-1.57079632675     		φ = -1.23165797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55775749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.252930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23165797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.568803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6127 KachelY 6397 1.55775749 -1.23165797 89.252930 -70.568803
    Oben rechts KachelX + 1 6128 KachelY 6397 1.55852448 -1.23165797 89.296875 -70.568803
    Unten links KachelX 6127 KachelY + 1 6398 1.55775749 -1.23191303 89.252930 -70.583417
    Unten rechts KachelX + 1 6128 KachelY + 1 6398 1.55852448 -1.23191303 89.296875 -70.583417
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23165797--1.23191303) × R
    0.000255059999999974 × 6371000     		dl = 1624.98725999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23165797--1.23191303) × R
    0.000255059999999974 × 6371000     		dr = 1624.98725999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55775749-1.55852448) × cos(-1.23165797) × R
    0.000766990000000023 × 0.332674650294458 × 6371000     		do = 1625.61244641702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55775749-1.55852448) × cos(-1.23191303) × R
    0.000766990000000023 × 0.332434107269476 × 6371000     		du = 1624.43703453948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23165797)-sin(-1.23191303))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332674650294458-0.332434107269476)×R²
    abs(1.55852448-1.55775749)×0.000240543024982665×R²
    0.000766990000000023×0.000240543024982665×6371000²
    0.000766990000000023×0.000240543024982665×40589641000000     		ar = 2640644.51477725m²