Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61269 / 40978
↖ ↑ ↗
← N 55.748758°
W 11.719665°		 ← 171.90 m → N 55.748758°
W 11.716919°		 →
↑
171.89 m
↓
↑
171.89 m
↓
N 55.747212°
W 11.719665°		 ← 171.91 m →
29 549 m²		 N 55.747212°
W 11.716919°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40978 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467449188232422 y=0.312641143798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467449188232422 × 217)
    floor (0.467449188232422 × 131072)
    floor (61269.5)     		tx = 61269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312641143798828 × 217)
    floor (0.312641143798828 × 131072)
    floor (40978.5)     		ty = 40978
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61269 / 40978 ti = "17/61269/40978"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61269/40978.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61269 ÷ 217
    61269 ÷ 131072     		x = 0.467445373535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40978 ÷ 217
    40978 ÷ 131072     		y = 0.312637329101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467445373535156 × 2 - 1) × π
    -0.0651092529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.20454675
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312637329101562 × 2 - 1) × π
    0.374725341796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.17723438086934
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20454675} λ = -0.20454675}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17723438086934))-π/2
    2×atan(3.24538627765361)-π/2
    2×1.27189785245553-π/2
    2.54379570491106-1.57079632675     		φ = 0.97299938
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20454675} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.719665°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97299938 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.748758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61269 KachelY 40978 -0.20454675 0.97299938 -11.719665 55.748758
    Oben rechts KachelX + 1 61270 KachelY 40978 -0.20449881 0.97299938 -11.716919 55.748758
    Unten links KachelX 61269 KachelY + 1 40979 -0.20454675 0.97297240 -11.719665 55.747212
    Unten rechts KachelX + 1 61270 KachelY + 1 40979 -0.20449881 0.97297240 -11.716919 55.747212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97299938-0.97297240) × R
    2.69800000000098e-05 × 6371000     		dl = 171.889580000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97299938-0.97297240) × R
    2.69800000000098e-05 × 6371000     		dr = 171.889580000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20454675--0.20449881) × cos(0.97299938) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.562822846364529 × 6371000     		do = 171.900584339779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20454675--0.20449881) × cos(0.97297240) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.562845147221938 × 6371000     		du = 171.907395595656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97299938)-sin(0.97297240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562822846364529-0.562845147221938)×R²
    abs(-0.20449881--0.20454675)×2.23008574095074e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.23008574095074e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.23008574095074e-05×40589641000000     		ar = 29548.504637547m²