Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61269 / 13491
↖ ↑ ↗
← N 72.095878°
E156.560669°		 ← 187.79 m → N 72.095878°
E156.566162°		 →
↑
187.82 m
↓
↑
187.82 m
↓
N 72.094189°
E156.560669°		 ← 187.81 m →
35 272 m²		 N 72.094189°
E156.566162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.934898376464844 y=0.205863952636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.934898376464844 × 216)
    floor (0.934898376464844 × 65536)
    floor (61269.5)     		tx = 61269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205863952636719 × 216)
    floor (0.205863952636719 × 65536)
    floor (13491.5)     		ty = 13491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61269 / 13491 ti = "16/61269/13491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61269/13491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61269 ÷ 216
    61269 ÷ 65536     		x = 0.934890747070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13491 ÷ 216
    13491 ÷ 65536     		y = 0.205856323242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.934890747070312 × 2 - 1) × π
    0.869781494140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.73249915
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.205856323242188 × 2 - 1) × π
    0.588287353515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.84815922795165
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73249915} λ = 2.73249915}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84815922795165))-π/2
    2×atan(6.34812331292263)-π/2
    2×1.4145533882322-π/2
    2.82910677646441-1.57079632675     		φ = 1.25831045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73249915} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.560669°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25831045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.095878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61269 KachelY 13491 2.73249915 1.25831045 156.560669 72.095878
    Oben rechts KachelX + 1 61270 KachelY 13491 2.73259503 1.25831045 156.566162 72.095878
    Unten links KachelX 61269 KachelY + 1 13492 2.73249915 1.25828097 156.560669 72.094189
    Unten rechts KachelX + 1 61270 KachelY + 1 13492 2.73259503 1.25828097 156.566162 72.094189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25831045-1.25828097) × R
    2.94800000000262e-05 × 6371000     		dl = 187.817080000167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25831045-1.25828097) × R
    2.94800000000262e-05 × 6371000     		dr = 187.817080000167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73249915-2.73259503) × cos(1.25831045) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.30742507536042 × 6371000     		do = 187.791062272901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73249915-2.73259503) × cos(1.25828097) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.307453127577937 × 6371000     		du = 187.808198011488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25831045)-sin(1.25828097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30742507536042-0.307453127577937)×R²
    abs(2.73259503-2.73249915)×2.80522175172826e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.80522175172826e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.80522175172826e-05×40589641000000     		ar = 35271.9781608868m²