Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61268 / 13724
↖ ↑ ↗
← N 71.698194°
E156.555176°		 ← 191.80 m → N 71.698194°
E156.560669°		 →
↑
191.83 m
↓
↑
191.83 m
↓
N 71.696469°
E156.555176°		 ← 191.82 m →
36 795 m²		 N 71.696469°
E156.560669°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13724 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.934883117675781 y=0.209419250488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.934883117675781 × 216)
    floor (0.934883117675781 × 65536)
    floor (61268.5)     		tx = 61268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209419250488281 × 216)
    floor (0.209419250488281 × 65536)
    floor (13724.5)     		ty = 13724
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61268 / 13724 ti = "16/61268/13724"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61268/13724.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61268 ÷ 216
    61268 ÷ 65536     		x = 0.93487548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13724 ÷ 216
    13724 ÷ 65536     		y = 0.20941162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93487548828125 × 2 - 1) × π
    0.8697509765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.73240328
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20941162109375 × 2 - 1) × π
    0.5811767578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.8258206327287
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73240328} λ = 2.73240328}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8258206327287))-π/2
    2×atan(6.20788732487756)-π/2
    2×1.41108293886582-π/2
    2.82216587773165-1.57079632675     		φ = 1.25136955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73240328} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.555176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25136955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.698194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61268 KachelY 13724 2.73240328 1.25136955 156.555176 71.698194
    Oben rechts KachelX + 1 61269 KachelY 13724 2.73249915 1.25136955 156.560669 71.698194
    Unten links KachelX 61268 KachelY + 1 13725 2.73240328 1.25133944 156.555176 71.696469
    Unten rechts KachelX + 1 61269 KachelY + 1 13725 2.73249915 1.25133944 156.560669 71.696469
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25136955-1.25133944) × R
    3.01099999999721e-05 × 6371000     		dl = 191.830809999822m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25136955-1.25133944) × R
    3.01099999999721e-05 × 6371000     		dr = 191.830809999822m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73240328-2.73249915) × cos(1.25136955) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.314022385196265 × 6371000     		do = 191.801032384103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73240328-2.73249915) × cos(1.25133944) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.314050971956995 × 6371000     		du = 191.818492827941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25136955)-sin(1.25133944))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.314022385196265-0.314050971956995)×R²
    abs(2.73249915-2.73240328)×2.85867607302537e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.85867607302537e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.85867607302537e-05×40589641000000     		ar = 36795.0221295593m²