Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61267 / 33805
↖ ↑ ↗
← N 65.351951°
W 11.725158°		 ← 127.35 m → N 65.351951°
W 11.722412°		 →
↑
127.42 m
↓
↑
127.42 m
↓
N 65.350805°
W 11.725158°		 ← 127.35 m →
16 227 m²		 N 65.350805°
W 11.722412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33805 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467433929443359 y=0.257915496826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467433929443359 × 217)
    floor (0.467433929443359 × 131072)
    floor (61267.5)     		tx = 61267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257915496826172 × 217)
    floor (0.257915496826172 × 131072)
    floor (33805.5)     		ty = 33805
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61267 / 33805 ti = "17/61267/33805"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61267/33805.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61267 ÷ 217
    61267 ÷ 131072     		x = 0.467430114746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33805 ÷ 217
    33805 ÷ 131072     		y = 0.257911682128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467430114746094 × 2 - 1) × π
    -0.0651397705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20464262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.257911682128906 × 2 - 1) × π
    0.484176635742188 × 3.1415926535     		Φ = 1.521085761844
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20464262} λ = -0.20464262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.521085761844))-π/2
    2×atan(4.57719223882652)-π/2
    2×1.3557015164631-π/2
    2.7114030329262-1.57079632675     		φ = 1.14060671
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20464262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.725158°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14060671 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.351951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61267 KachelY 33805 -0.20464262 1.14060671 -11.725158 65.351951
    Oben rechts KachelX + 1 61268 KachelY 33805 -0.20459469 1.14060671 -11.722412 65.351951
    Unten links KachelX 61267 KachelY + 1 33806 -0.20464262 1.14058671 -11.725158 65.350805
    Unten rechts KachelX + 1 61268 KachelY + 1 33806 -0.20459469 1.14058671 -11.722412 65.350805
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14060671-1.14058671) × R
    1.9999999999909e-05 × 6371000     		dl = 127.41999999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14060671-1.14058671) × R
    1.9999999999909e-05 × 6371000     		dr = 127.41999999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20464262--0.20459469) × cos(1.14060671) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.417043150106106 × 6371000     		do = 127.349142913999m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20464262--0.20459469) × cos(1.14058671) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.417061327756448 × 6371000     		du = 127.354693678209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14060671)-sin(1.14058671))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417043150106106-0.417061327756448)×R²
    abs(-0.20459469--0.20464262)×1.81776503426767e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.81776503426767e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.81776503426767e-05×40589641000000     		ar = 16227.1814297653m²