Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61266 / 33806
↖ ↑ ↗
← N 65.350805°
W 11.727905°		 ← 127.38 m → N 65.350805°
W 11.725158°		 →
↑
127.36 m
↓
↑
127.36 m
↓
N 65.349659°
W 11.727905°		 ← 127.39 m →
16 223 m²		 N 65.349659°
W 11.725158°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61266 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467426300048828 y=0.257923126220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467426300048828 × 217)
    floor (0.467426300048828 × 131072)
    floor (61266.5)     		tx = 61266
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257923126220703 × 217)
    floor (0.257923126220703 × 131072)
    floor (33806.5)     		ty = 33806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61266 / 33806 ti = "17/61266/33806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61266/33806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61266 ÷ 217
    61266 ÷ 131072     		x = 0.467422485351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33806 ÷ 217
    33806 ÷ 131072     		y = 0.257919311523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467422485351562 × 2 - 1) × π
    -0.065155029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.20469056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.257919311523438 × 2 - 1) × π
    0.484161376953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.52103782494438
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20469056} λ = -0.20469056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52103782494438))-π/2
    2×atan(4.57697282768061)-π/2
    2×1.35569152036744-π/2
    2.71138304073489-1.57079632675     		φ = 1.14058671
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20469056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.727905°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14058671 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.350805°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61266 KachelY 33806 -0.20469056 1.14058671 -11.727905 65.350805
    Oben rechts KachelX + 1 61267 KachelY 33806 -0.20464262 1.14058671 -11.725158 65.350805
    Unten links KachelX 61266 KachelY + 1 33807 -0.20469056 1.14056672 -11.727905 65.349659
    Unten rechts KachelX + 1 61267 KachelY + 1 33807 -0.20464262 1.14056672 -11.725158 65.349659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14058671-1.14056672) × R
    1.99899999999698e-05 × 6371000     		dl = 127.356289999807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14058671-1.14056672) × R
    1.99899999999698e-05 × 6371000     		dr = 127.356289999807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20469056--0.20464262) × cos(1.14058671) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.417061327756448 × 6371000     		do = 127.381264655386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20469056--0.20464262) × cos(1.14056672) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.417079496151266 × 6371000     		du = 127.386813750818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14058671)-sin(1.14056672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417061327756448-0.417079496151266)×R²
    abs(-0.20464262--0.20469056)×1.81683948181077e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.81683948181077e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.81683948181077e-05×40589641000000     		ar = 16223.1586386684m²