Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61265 / 40531
↖ ↑ ↗
← N 56.433648°
W 11.730652°		 ← 168.87 m → N 56.433648°
W 11.727905°		 →
↑
168.90 m
↓
↑
168.90 m
↓
N 56.432129°
W 11.730652°		 ← 168.88 m →
28 522 m²		 N 56.432129°
W 11.727905°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40531 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467418670654297 y=0.309230804443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467418670654297 × 217)
    floor (0.467418670654297 × 131072)
    floor (61265.5)     		tx = 61265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309230804443359 × 217)
    floor (0.309230804443359 × 131072)
    floor (40531.5)     		ty = 40531
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61265 / 40531 ti = "17/61265/40531"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61265/40531.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61265 ÷ 217
    61265 ÷ 131072     		x = 0.467414855957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40531 ÷ 217
    40531 ÷ 131072     		y = 0.309226989746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467414855957031 × 2 - 1) × π
    -0.0651702880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.20473850
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309226989746094 × 2 - 1) × π
    0.381546020507812 × 3.1415926535     		Φ = 1.1986621749995
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20473850} λ = -0.20473850}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1986621749995))-π/2
    2×atan(3.31567815712058)-π/2
    2×1.27787464831877-π/2
    2.55574929663754-1.57079632675     		φ = 0.98495297
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20473850} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.730652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98495297 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.433648°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61265 KachelY 40531 -0.20473850 0.98495297 -11.730652 56.433648
    Oben rechts KachelX + 1 61266 KachelY 40531 -0.20469056 0.98495297 -11.727905 56.433648
    Unten links KachelX 61265 KachelY + 1 40532 -0.20473850 0.98492646 -11.730652 56.432129
    Unten rechts KachelX + 1 61266 KachelY + 1 40532 -0.20469056 0.98492646 -11.727905 56.432129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98495297-0.98492646) × R
    2.65100000000906e-05 × 6371000     		dl = 168.895210000577m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98495297-0.98492646) × R
    2.65100000000906e-05 × 6371000     		dr = 168.895210000577m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20473850--0.20469056) × cos(0.98495297) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.552902302623417 × 6371000     		do = 168.870594926448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20473850--0.20469056) × cos(0.98492646) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.552924391782932 × 6371000     		du = 168.877341524339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98495297)-sin(0.98492646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552902302623417-0.552924391782932)×R²
    abs(-0.20469056--0.20473850)×2.20891595152928e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.20891595152928e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.20891595152928e-05×40589641000000     		ar = 28522.0043287315m²