Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61265 / 33809
↖ ↑ ↗
← N 65.347368°
W 11.730652°		 ← 127.40 m → N 65.347368°
W 11.727905°		 →
↑
127.36 m
↓
↑
127.36 m
↓
N 65.346223°
W 11.730652°		 ← 127.40 m →
16 225 m²		 N 65.346223°
W 11.727905°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467418670654297 y=0.257946014404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467418670654297 × 217)
    floor (0.467418670654297 × 131072)
    floor (61265.5)     		tx = 61265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257946014404297 × 217)
    floor (0.257946014404297 × 131072)
    floor (33809.5)     		ty = 33809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61265 / 33809 ti = "17/61265/33809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61265/33809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61265 ÷ 217
    61265 ÷ 131072     		x = 0.467414855957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33809 ÷ 217
    33809 ÷ 131072     		y = 0.257942199707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467414855957031 × 2 - 1) × π
    -0.0651702880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.20473850
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.257942199707031 × 2 - 1) × π
    0.484115600585938 × 3.1415926535     		Φ = 1.52089401424552
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20473850} λ = -0.20473850}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52089401424552))-π/2
    2×atan(4.5763146573467)-π/2
    2×1.35566152946726-π/2
    2.71132305893451-1.57079632675     		φ = 1.14052673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20473850} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.730652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14052673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.347368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61265 KachelY 33809 -0.20473850 1.14052673 -11.730652 65.347368
    Oben rechts KachelX + 1 61266 KachelY 33809 -0.20469056 1.14052673 -11.727905 65.347368
    Unten links KachelX 61265 KachelY + 1 33810 -0.20473850 1.14050674 -11.730652 65.346223
    Unten rechts KachelX + 1 61266 KachelY + 1 33810 -0.20469056 1.14050674 -11.727905 65.346223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14052673-1.14050674) × R
    1.99899999999698e-05 × 6371000     		dl = 127.356289999807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14052673-1.14050674) × R
    1.99899999999698e-05 × 6371000     		dr = 127.356289999807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20473850--0.20469056) × cos(1.14052673) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.417115841529434 × 6371000     		do = 127.39791456484m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20473850--0.20469056) × cos(1.14050674) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.417134009424152 × 6371000     		du = 127.403463507529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14052673)-sin(1.14050674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417115841529434-0.417134009424152)×R²
    abs(-0.20469056--0.20473850)×1.81678947179242e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.81678947179242e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.81678947179242e-05×40589641000000     		ar = 16225.2790996127m²