Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61265 / 13489
↖ ↑ ↗
← N 72.099255°
E156.538696°		 ← 187.74 m → N 72.099255°
E156.544189°		 →
↑
187.75 m
↓
↑
187.75 m
↓
N 72.097567°
E156.538696°		 ← 187.75 m →
35 250 m²		 N 72.097567°
E156.544189°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.934837341308594 y=0.205833435058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.934837341308594 × 216)
    floor (0.934837341308594 × 65536)
    floor (61265.5)     		tx = 61265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205833435058594 × 216)
    floor (0.205833435058594 × 65536)
    floor (13489.5)     		ty = 13489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61265 / 13489 ti = "16/61265/13489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61265/13489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61265 ÷ 216
    61265 ÷ 65536     		x = 0.934829711914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13489 ÷ 216
    13489 ÷ 65536     		y = 0.205825805664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.934829711914062 × 2 - 1) × π
    0.869659423828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.73211566
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.205825805664062 × 2 - 1) × π
    0.588348388671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.84835097555013
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73211566} λ = 2.73211566}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84835097555013))-π/2
    2×atan(6.34934066703137)-π/2
    2×1.4145828595534-π/2
    2.82916571910679-1.57079632675     		φ = 1.25836939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73211566} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.538696°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25836939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.099255°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61265 KachelY 13489 2.73211566 1.25836939 156.538696 72.099255
    Oben rechts KachelX + 1 61266 KachelY 13489 2.73221153 1.25836939 156.544189 72.099255
    Unten links KachelX 61265 KachelY + 1 13490 2.73211566 1.25833992 156.538696 72.097567
    Unten rechts KachelX + 1 61266 KachelY + 1 13490 2.73221153 1.25833992 156.544189 72.097567
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25836939-1.25833992) × R
    2.94699999998649e-05 × 6371000     		dl = 187.753369999139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25836939-1.25833992) × R
    2.94699999998649e-05 × 6371000     		dr = 187.753369999139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73211566-2.73221153) × cos(1.25836939) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.307368989155696 × 6371000     		do = 187.737219453557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73211566-2.73221153) × cos(1.25833992) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.307397032391542 × 6371000     		du = 187.754347919043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25836939)-sin(1.25833992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.307368989155696-0.307397032391542)×R²
    abs(2.73221153-2.73211566)×2.8043235846098e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.8043235846098e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.8043235846098e-05×40589641000000     		ar = 35249.9035928744m²