Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61262 / 13990
↖ ↑ ↗
← N 71.233755°
E156.522217°		 ← 196.50 m → N 71.233755°
E156.527710°		 →
↑
196.55 m
↓
↑
196.55 m
↓
N 71.231988°
E156.522217°		 ← 196.51 m →
38 622 m²		 N 71.231988°
E156.527710°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.934791564941406 y=0.213478088378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.934791564941406 × 216)
    floor (0.934791564941406 × 65536)
    floor (61262.5)     		tx = 61262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.213478088378906 × 216)
    floor (0.213478088378906 × 65536)
    floor (13990.5)     		ty = 13990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61262 / 13990 ti = "16/61262/13990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61262/13990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61262 ÷ 216
    61262 ÷ 65536     		x = 0.934783935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13990 ÷ 216
    13990 ÷ 65536     		y = 0.213470458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.934783935546875 × 2 - 1) × π
    0.86956787109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.73182804
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.213470458984375 × 2 - 1) × π
    0.57305908203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.80031820213083
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73182804} λ = 2.73182804}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80031820213083))-π/2
    2×atan(6.05157278143063)-π/2
    2×1.40702994708188-π/2
    2.81405989416377-1.57079632675     		φ = 1.24326357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73182804} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.522217°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24326357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.233755°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61262 KachelY 13990 2.73182804 1.24326357 156.522217 71.233755
    Oben rechts KachelX + 1 61263 KachelY 13990 2.73192391 1.24326357 156.527710 71.233755
    Unten links KachelX 61262 KachelY + 1 13991 2.73182804 1.24323272 156.522217 71.231988
    Unten rechts KachelX + 1 61263 KachelY + 1 13991 2.73192391 1.24323272 156.527710 71.231988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24326357-1.24323272) × R
    3.08500000001377e-05 × 6371000     		dl = 196.545350000877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24326357-1.24323272) × R
    3.08500000001377e-05 × 6371000     		dr = 196.545350000877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73182804-2.73192391) × cos(1.24326357) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.321707927947845 × 6371000     		do = 196.49526790258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73182804-2.73192391) × cos(1.24323272) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.321737137776552 × 6371000     		du = 196.513108908719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24326357)-sin(1.24323272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321707927947845-0.321737137776552)×R²
    abs(2.73192391-2.73182804)×2.92098287078546e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.92098287078546e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.92098287078546e-05×40589641000000     		ar = 38621.9844899426m²