Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61261 / 34569
↖ ↑ ↗
← N 64.462139°
W 11.741638°		 ← 131.67 m → N 64.462139°
W 11.738892°		 →
↑
131.62 m
↓
↑
131.62 m
↓
N 64.460955°
W 11.741638°		 ← 131.68 m →
17 332 m²		 N 64.460955°
W 11.738892°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61261 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34569 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467388153076172 y=0.263744354248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467388153076172 × 217)
    floor (0.467388153076172 × 131072)
    floor (61261.5)     		tx = 61261
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263744354248047 × 217)
    floor (0.263744354248047 × 131072)
    floor (34569.5)     		ty = 34569
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61261 / 34569 ti = "17/61261/34569"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61261/34569.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61261 ÷ 217
    61261 ÷ 131072     		x = 0.467384338378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34569 ÷ 217
    34569 ÷ 131072     		y = 0.263740539550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467384338378906 × 2 - 1) × π
    -0.0652313232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.20493025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263740539550781 × 2 - 1) × π
    0.472518920898438 × 3.1415926535     		Φ = 1.48446197053428
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20493025} λ = -0.20493025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48446197053428))-π/2
    2×atan(4.41259067019439)-π/2
    2×1.34793644975697-π/2
    2.69587289951394-1.57079632675     		φ = 1.12507657
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20493025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.741638°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12507657 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.462139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61261 KachelY 34569 -0.20493025 1.12507657 -11.741638 64.462139
    Oben rechts KachelX + 1 61262 KachelY 34569 -0.20488231 1.12507657 -11.738892 64.462139
    Unten links KachelX 61261 KachelY + 1 34570 -0.20493025 1.12505591 -11.741638 64.460955
    Unten rechts KachelX + 1 61262 KachelY + 1 34570 -0.20488231 1.12505591 -11.738892 64.460955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12507657-1.12505591) × R
    2.06600000001167e-05 × 6371000     		dl = 131.624860000743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12507657-1.12505591) × R
    2.06600000001167e-05 × 6371000     		dr = 131.624860000743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20493025--0.20488231) × cos(1.12507657) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.431107428905067 × 6371000     		do = 131.671305492817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20493025--0.20488231) × cos(1.12505591) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.431126070343593 × 6371000     		du = 131.676999067974m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12507657)-sin(1.12505591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431107428905067-0.431126070343593)×R²
    abs(-0.20488231--0.20493025)×1.86414385259237e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.86414385259237e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.86414385259237e-05×40589641000000     		ar = 17331.5918601822m²