Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6126 / 10193
↖ ↑ ↗
← S 40.195659°
W 45.395508°		 ← 1 866.29 m → S 40.195659°
W 45.373535°		 →
↑
1 866 m
↓
↑
1 866 m
↓
S 40.212441°
W 45.395508°		 ← 1 865.82 m →
3 482 063 m²		 S 40.212441°
W 45.373535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373931884765625 y=0.622161865234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373931884765625 × 214)
    floor (0.373931884765625 × 16384)
    floor (6126.5)     		tx = 6126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622161865234375 × 214)
    floor (0.622161865234375 × 16384)
    floor (10193.5)     		ty = 10193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6126 / 10193 ti = "14/6126/10193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6126/10193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6126 ÷ 214
    6126 ÷ 16384     		x = 0.3739013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10193 ÷ 214
    10193 ÷ 16384     		y = 0.62213134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3739013671875 × 2 - 1) × π
    -0.252197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.79230108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62213134765625 × 2 - 1) × π
    -0.2442626953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.767373889117859
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79230108} λ = -0.79230108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.767373889117859))-π/2
    2×atan(0.46423058994218)-π/2
    2×0.434624865311619-π/2
    0.869249730623238-1.57079632675     		φ = -0.70154660
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79230108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.395508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70154660 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.195659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6126 KachelY 10193 -0.79230108 -0.70154660 -45.395508 -40.195659
    Oben rechts KachelX + 1 6127 KachelY 10193 -0.79191758 -0.70154660 -45.373535 -40.195659
    Unten links KachelX 6126 KachelY + 1 10194 -0.79230108 -0.70183949 -45.395508 -40.212441
    Unten rechts KachelX + 1 6127 KachelY + 1 10194 -0.79191758 -0.70183949 -45.373535 -40.212441
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70154660--0.70183949) × R
    0.00029288999999999 × 6371000     		dl = 1866.00218999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70154660--0.70183949) × R
    0.00029288999999999 × 6371000     		dr = 1866.00218999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79230108--0.79191758) × cos(-0.70154660) × R
    0.000383499999999981 × 0.763844925866415 × 6371000     		do = 1866.28588470341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79230108--0.79191758) × cos(-0.70183949) × R
    0.000383499999999981 × 0.763655861952434 × 6371000     		du = 1865.82394890726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70154660)-sin(-0.70183949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.763844925866415-0.763655861952434)×R²
    abs(-0.79191758--0.79230108)×0.000189063913981102×R²
    0.000383499999999981×0.000189063913981102×6371000²
    0.000383499999999981×0.000189063913981102×40589641000000     		ar = 3482062.58631139m²