Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61256 / 13504
↖ ↑ ↗
← N 72.073911°
E156.489258°		 ← 188.01 m → N 72.073911°
E156.494751°		 →
↑
188.01 m
↓
↑
188.01 m
↓
N 72.072221°
E156.489258°		 ← 188.03 m →
35 350 m²		 N 72.072221°
E156.494751°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.934700012207031 y=0.206062316894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.934700012207031 × 216)
    floor (0.934700012207031 × 65536)
    floor (61256.5)     		tx = 61256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206062316894531 × 216)
    floor (0.206062316894531 × 65536)
    floor (13504.5)     		ty = 13504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61256 / 13504 ti = "16/61256/13504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61256/13504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61256 ÷ 216
    61256 ÷ 65536     		x = 0.9346923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13504 ÷ 216
    13504 ÷ 65536     		y = 0.2060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9346923828125 × 2 - 1) × π
    0.869384765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.73125279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2060546875 × 2 - 1) × π
    0.587890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.84691286856152
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73125279} λ = 2.73125279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84691286856152))-π/2
    2×atan(6.34021619839872)-π/2
    2×1.41436169351939-π/2
    2.82872338703877-1.57079632675     		φ = 1.25792706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73125279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.489258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25792706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.073911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61256 KachelY 13504 2.73125279 1.25792706 156.489258 72.073911
    Oben rechts KachelX + 1 61257 KachelY 13504 2.73134867 1.25792706 156.494751 72.073911
    Unten links KachelX 61256 KachelY + 1 13505 2.73125279 1.25789755 156.489258 72.072221
    Unten rechts KachelX + 1 61257 KachelY + 1 13505 2.73134867 1.25789755 156.494751 72.072221
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25792706-1.25789755) × R
    2.95100000000659e-05 × 6371000     		dl = 188.00821000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25792706-1.25789755) × R
    2.95100000000659e-05 × 6371000     		dr = 188.00821000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73125279-2.73134867) × cos(1.25792706) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.307789876057852 × 6371000     		do = 188.013901318832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73125279-2.73134867) × cos(1.25789755) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.307817953341886 × 6371000     		du = 188.031052369339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25792706)-sin(1.25789755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.307789876057852-0.307817953341886)×R²
    abs(2.73134867-2.73125279)×2.80772840336452e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.80772840336452e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.80772840336452e-05×40589641000000     		ar = 35349.7693137739m²