Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61253 / 40860
↖ ↑ ↗
← N 55.930741°
W 11.763611°		 ← 171.10 m → N 55.930741°
W 11.760864°		 →
↑
171.06 m
↓
↑
171.06 m
↓
N 55.929202°
W 11.763611°		 ← 171.10 m →
29 269 m²		 N 55.929202°
W 11.760864°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61253 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40860 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467327117919922 y=0.311740875244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467327117919922 × 217)
    floor (0.467327117919922 × 131072)
    floor (61253.5)     		tx = 61253
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311740875244141 × 217)
    floor (0.311740875244141 × 131072)
    floor (40860.5)     		ty = 40860
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61253 / 40860 ti = "17/61253/40860"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61253/40860.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61253 ÷ 217
    61253 ÷ 131072     		x = 0.467323303222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40860 ÷ 217
    40860 ÷ 131072     		y = 0.311737060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467323303222656 × 2 - 1) × π
    -0.0653533935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.20531374
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311737060546875 × 2 - 1) × π
    0.37652587890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.18289093502451
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20531374} λ = -0.20531374}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18289093502451))-π/2
    2×atan(3.2637959995948)-π/2
    2×1.27348595319579-π/2
    2.54697190639158-1.57079632675     		φ = 0.97617558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20531374} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.763611°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97617558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.930741°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61253 KachelY 40860 -0.20531374 0.97617558 -11.763611 55.930741
    Oben rechts KachelX + 1 61254 KachelY 40860 -0.20526580 0.97617558 -11.760864 55.930741
    Unten links KachelX 61253 KachelY + 1 40861 -0.20531374 0.97614873 -11.763611 55.929202
    Unten rechts KachelX + 1 61254 KachelY + 1 40861 -0.20526580 0.97614873 -11.760864 55.929202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97617558-0.97614873) × R
    2.68500000000227e-05 × 6371000     		dl = 171.061350000145m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97617558-0.97614873) × R
    2.68500000000227e-05 × 6371000     		dr = 171.061350000145m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20531374--0.20526580) × cos(0.97617558) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.560194636223961 × 6371000     		do = 171.097861312721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20531374--0.20526580) × cos(0.97614873) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.560216877515257 × 6371000     		du = 171.104654375573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97617558)-sin(0.97614873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.560194636223961-0.560216877515257)×R²
    abs(-0.20526580--0.20531374)×2.22412912953551e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.22412912953551e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.22412912953551e-05×40589641000000     		ar = 29268.8121553267m²