Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61252 / 34384
↖ ↑ ↗
← N 64.680318°
W 11.766358°		 ← 130.62 m → N 64.680318°
W 11.763611°		 →
↑
130.61 m
↓
↑
130.61 m
↓
N 64.679143°
W 11.766358°		 ← 130.63 m →
17 060 m²		 N 64.679143°
W 11.763611°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34384 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467319488525391 y=0.262332916259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467319488525391 × 217)
    floor (0.467319488525391 × 131072)
    floor (61252.5)     		tx = 61252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262332916259766 × 217)
    floor (0.262332916259766 × 131072)
    floor (34384.5)     		ty = 34384
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61252 / 34384 ti = "17/61252/34384"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61252/34384.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61252 ÷ 217
    61252 ÷ 131072     		x = 0.467315673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34384 ÷ 217
    34384 ÷ 131072     		y = 0.2623291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467315673828125 × 2 - 1) × π
    -0.06536865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.20536168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2623291015625 × 2 - 1) × π
    0.475341796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.49333029696399
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20536168} λ = -0.20536168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49333029696399))-π/2
    2×atan(4.45189699771923)-π/2
    2×1.34984041798244-π/2
    2.69968083596488-1.57079632675     		φ = 1.12888451
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20536168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.766358°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12888451 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.680318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61252 KachelY 34384 -0.20536168 1.12888451 -11.766358 64.680318
    Oben rechts KachelX + 1 61253 KachelY 34384 -0.20531374 1.12888451 -11.763611 64.680318
    Unten links KachelX 61252 KachelY + 1 34385 -0.20536168 1.12886401 -11.766358 64.679143
    Unten rechts KachelX + 1 61253 KachelY + 1 34385 -0.20531374 1.12886401 -11.763611 64.679143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12888451-1.12886401) × R
    2.04999999999789e-05 × 6371000     		dl = 130.605499999865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12888451-1.12886401) × R
    2.04999999999789e-05 × 6371000     		dr = 130.605499999865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20536168--0.20531374) × cos(1.12888451) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.427668405023864 × 6371000     		do = 130.620939079023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20536168--0.20531374) × cos(1.12886401) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.427686935615686 × 6371000     		du = 130.626598798743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12888451)-sin(1.12886401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427668405023864-0.427686935615686)×R²
    abs(-0.20531374--0.20536168)×1.85305918216638e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.85305918216638e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.85305918216638e-05×40589641000000     		ar = 17060.1826547609m²