Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61251 / 76610
↖ ↑ ↗
← S 29.080176°
W 11.769104°		 ← 266.87 m → S 29.080176°
W 11.766358°		 →
↑
266.88 m
↓
↑
266.88 m
↓
S 29.082576°
W 11.769104°		 ← 266.86 m →
71 221 m²		 S 29.082576°
W 11.766358°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467311859130859 y=0.584491729736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467311859130859 × 217)
    floor (0.467311859130859 × 131072)
    floor (61251.5)     		tx = 61251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584491729736328 × 217)
    floor (0.584491729736328 × 131072)
    floor (76610.5)     		ty = 76610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61251 / 76610 ti = "17/61251/76610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61251/76610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61251 ÷ 217
    61251 ÷ 131072     		x = 0.467308044433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76610 ÷ 217
    76610 ÷ 131072     		y = 0.584487915039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467308044433594 × 2 - 1) × π
    -0.0653839111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20540961
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584487915039062 × 2 - 1) × π
    -0.168975830078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.530853226392502
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20540961} λ = -0.20540961}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.530853226392502))-π/2
    2×atan(0.588102970573365)-π/2
    2×0.531625754364916-π/2
    1.06325150872983-1.57079632675     		φ = -0.50754482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20540961} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.769104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50754482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.080176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61251 KachelY 76610 -0.20540961 -0.50754482 -11.769104 -29.080176
    Oben rechts KachelX + 1 61252 KachelY 76610 -0.20536168 -0.50754482 -11.766358 -29.080176
    Unten links KachelX 61251 KachelY + 1 76611 -0.20540961 -0.50758671 -11.769104 -29.082576
    Unten rechts KachelX + 1 61252 KachelY + 1 76611 -0.20536168 -0.50758671 -11.766358 -29.082576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50754482--0.50758671) × R
    4.18899999999889e-05 × 6371000     		dl = 266.881189999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50754482--0.50758671) × R
    4.18899999999889e-05 × 6371000     		dr = 266.881189999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20540961--0.20536168) × cos(-0.50754482) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.873940439043774 × 6371000     		do = 266.868226565507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20540961--0.20536168) × cos(-0.50758671) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.873920078353251 × 6371000     		du = 266.862009183717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50754482)-sin(-0.50758671))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873940439043774-0.873920078353251)×R²
    abs(-0.20536168--0.20540961)×2.03606905225806e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.03606905225806e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.03606905225806e-05×40589641000000     		ar = 71221.28023818m²